Номер 60, страница 10 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

60. Три окружности, радиусы которых равны $12\text{ см}$, $14\text{ см}$ и $16\text{ см}$, попарно касаются друг друга внешним образом. Найдите площадь треугольника, вершинами которого являются центры этих окружностей.

60. Три окружности, радиусы которых равны 12 см, 14 см и 16 см, попарно касаются друг друга внешним образом. Найдите площадь треугольника, вершинами которого являются центры этих окружностей.

Пусть центры трех окружностей являются вершинами треугольника. Обозначим радиусы окружностей как $r_1 = 12$ см, $r_2 = 14$ см и $r_3 = 16$ см.

Поскольку окружности касаются друг друга внешним образом, расстояние между центрами любых двух касающихся окружностей равно сумме их радиусов. Таким образом, мы можем найти длины сторон треугольника, образованного центрами этих окружностей. Обозначим стороны треугольника как $a$, $b$ и $c$.
Сторона $a$, соединяющая центры окружностей с радиусами $r_1$ и $r_2$: $a = r_1 + r_2 = 12 + 14 = 26$ см.
Сторона $b$, соединяющая центры окружностей с радиусами $r_1$ и $r_3$: $b = r_1 + r_3 = 12 + 16 = 28$ см.
Сторона $c$, соединяющая центры окружностей с радиусами $r_2$ и $r_3$: $c = r_2 + r_3 = 14 + 16 = 30$ см.

Для нахождения площади треугольника, зная длины всех трех его сторон, воспользуемся формулой Герона:
$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр треугольника.

Сначала вычислим полупериметр $p$:
$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{26 + 28 + 30}{2} = \frac{84}{2} = 42$ см.

Теперь найдем разности, необходимые для формулы:
$p - a = 42 - 26 = 16$
$p - b = 42 - 28 = 14$
$p - c = 42 - 30 = 12$

Подставим все вычисленные значения в формулу Герона:
$S = \sqrt{42 \cdot 16 \cdot 14 \cdot 12}$

Для удобства вычислений разложим числа под корнем на простые множители:
$42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$
$16 = 2^4$
$14 = 2 \cdot 7$
$12 = 2^2 \cdot 3$

$S = \sqrt{(2 \cdot 3 \cdot 7) \cdot (2^4) \cdot (2 \cdot 7) \cdot (2^2 \cdot 3)} = \sqrt{2^{1+4+1+2} \cdot 3^{1+1} \cdot 7^{1+1}} = \sqrt{2^8 \cdot 3^2 \cdot 7^2}$

Извлечем квадратный корень:
$S = \sqrt{(2^4)^2 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2^4 \cdot 3 \cdot 7 = 16 \cdot 21 = 336$ см².

Ответ: $336$ см².