Номер 67, страница 10 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

67. Диагонали четырёхугольника равны 5 см и 8 см, а его площадь — $10\sqrt{3}$ $\text{см}^2$. Найдите угол между диагоналями четырёхугольника.

67. Диагонали четырёхугольника равны 5 см и 8 см, а его площадь – $10\sqrt{3}$ см$^2$. Найдите угол между диагоналями четырёхугольника.

Площадь произвольного четырехугольника можно вычислить по формуле, использующей длины его диагоналей и синус угла между ними:

$S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin(\alpha)$

где $S$ — это площадь четырехугольника, $d_1$ и $d_2$ — длины его диагоналей, а $\alpha$ — это угол между диагоналями.

Из условия задачи нам известны следующие величины:

• длина первой диагонали $d_1 = 5$ см;
• длина второй диагонали $d_2 = 8$ см;
• площадь четырехугольника $S = 10\sqrt{3}$ см².

Подставим эти значения в формулу площади:

$10\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 \cdot \sin(\alpha)$

Выполним умножение в правой части уравнения:

$10\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot \sin(\alpha)$

$10\sqrt{3} = 20 \cdot \sin(\alpha)$

Теперь, чтобы найти $\sin(\alpha)$, разделим обе части уравнения на 20:

$\sin(\alpha) = \frac{10\sqrt{3}}{20}$

$\sin(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Угол $\alpha$, синус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$, может быть $60^\circ$ или $120^\circ$. Это связано с тем, что при пересечении диагоналей образуются две пары углов: одна пара острых углов и одна пара тупых (если диагонали не перпендикулярны). Если один из углов равен $60^\circ$, то смежный ему угол будет равен $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Оба эти угла могут считаться углами между диагоналями.

Ответ: $60^\circ$ или $120^\circ$.