Номер 69, страница 10 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

69. Диагонали выпуклого четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $M$. Площади треугольников $AMB$, $BMC$ и $CMD$ соответственно равны $6 \text{ см}^2$, $4 \text{ см}^2$ и $8 \text{ см}^2$. Найдите площадь четырёхугольника $ABCD$.

69. Диагонали выпуклого четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $M$. Площади треугольников $AMB$, $BMC$ и $CMD$ соответственно равны $6 \text{ см}^2$, $4 \text{ см}^2$ и $8 \text{ см}^2$. Найдите площадь четырёхугольника $ABCD$.

Пусть диагонали выпуклого четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $M$. Они разбивают четырёхугольник на четыре треугольника: $\triangle AMB$, $\triangle BMC$, $\triangle CMD$ и $\triangle DMA$. Площадь всего четырёхугольника $S_{ABCD}$ равна сумме площадей этих четырёх треугольников.

По условию задачи известны площади трёх из них:

• $S_{\triangle AMB} = 6 \text{ см}^2$
• $S_{\triangle BMC} = 4 \text{ см}^2$
• $S_{\triangle CMD} = 8 \text{ см}^2$

Для нахождения площади всего четырёхугольника необходимо найти площадь четвёртого треугольника, $S_{\triangle DMA}$.

Воспользуемся свойством площадей треугольников, на которые выпуклый четырёхугольник делится диагоналями: произведение площадей треугольников, прилежащих к противоположным вершинам, равны. Математически это свойство выражается формулой:

$S_{\triangle AMB} \cdot S_{\triangle CMD} = S_{\triangle BMC} \cdot S_{\triangle DMA}$

Это свойство легко доказать. Треугольники $\triangle AMB$ и $\triangle BMC$ имеют общую высоту, проведённую из вершины $B$ к диагонали $AC$. Поэтому отношение их площадей равно отношению их оснований: $\frac{S_{\triangle AMB}}{S_{\triangle BMC}} = \frac{AM}{MC}$. Аналогично, для треугольников $\triangle DMA$ и $\triangle CMD$, имеющих общую высоту из вершины $D$ к диагонали $AC$, справедливо: $\frac{S_{\triangle DMA}}{S_{\triangle CMD}} = \frac{AM}{MC}$. Приравнивая правые части этих двух равенств, получаем $\frac{S_{\triangle AMB}}{S_{\triangle BMC}} = \frac{S_{\triangle DMA}}{S_{\triangle CMD}}$, откуда и следует основное свойство.

Подставим известные значения в формулу свойства, чтобы найти $S_{\triangle DMA}$:

$6 \cdot 8 = 4 \cdot S_{\triangle DMA}$

$48 = 4 \cdot S_{\triangle DMA}$

Отсюда находим площадь треугольника $DMA$:

$S_{\triangle DMA} = \frac{48}{4} = 12 \text{ см}^2$.

Теперь можем вычислить площадь всего четырёхугольника $ABCD$ как сумму площадей четырёх треугольников:

$S_{ABCD} = S_{\triangle AMB} + S_{\triangle BMC} + S_{\triangle CMD} + S_{\triangle DMA}$

$S_{ABCD} = 6 + 4 + 8 + 12 = 30 \text{ см}^2$.

Ответ: $30 \text{ см}^2$.