Номер 70, страница 150, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

*70. Решите неравенство:

1) $arccos \frac{2-x}{x} < \frac{2\pi}{3};$

2) $arcsin \frac{2-x}{x} \ge \frac{\pi}{6}.$

1) Решим неравенство $\arccos\frac{2-x}{x} < \frac{2\pi}{3}$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент функции арккосинус должен принадлежать отрезку $[-1, 1]$:

$-1 \le \frac{2-x}{x} \le 1$

Это неравенство равносильно системе:

$\left\{ \begin{array}{l} \frac{2-x}{x} \le 1 \\ \frac{2-x}{x} \ge -1 \end{array} \right.$

Решим первое неравенство системы:

$\frac{2-x}{x} - 1 \le 0 \implies \frac{2-x-x}{x} \le 0 \implies \frac{2-2x}{x} \le 0 \implies \frac{1-x}{x} \le 0$.

Методом интервалов находим, что решение этого неравенства: $x \in (-\infty, 0) \cup [1, \infty)$.

Решим второе неравенство системы:

$\frac{2-x}{x} + 1 \ge 0 \implies \frac{2-x+x}{x} \ge 0 \implies \frac{2}{x} \ge 0$.

Отсюда следует, что $x > 0$.

Пересекая решения обоих неравенств, получаем ОДЗ: $x \in [1, \infty)$.

Теперь вернемся к исходному неравенству. Функция $y = \arccos t$ является убывающей на всей области определения, а ее область значений — $[0, \pi]$. Поэтому исходное неравенство можно записать в виде двойного неравенства:

$0 \le \arccos\frac{2-x}{x} < \frac{2\pi}{3}$.

Применим ко всем частям этого неравенства функцию косинус. Так как $y = \cos t$ убывает на отрезке $[0, \pi]$, знаки неравенства изменятся на противоположные:

$\cos(0) \ge \cos\left(\arccos\frac{2-x}{x}\right) > \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)$

$1 \ge \frac{2-x}{x} > -\frac{1}{2}$

Мы получили систему неравенств, которую нужно решить с учетом ОДЗ:

$\left\{ \begin{array}{l} \frac{2-x}{x} \le 1 \\ \frac{2-x}{x} > -\frac{1}{2} \end{array} \right.$

Решение первого неравенства мы уже знаем: $x \in (-\infty, 0) \cup [1, \infty)$.

Решим второе неравенство:

$\frac{2-x}{x} + \frac{1}{2} > 0 \implies \frac{2(2-x)+x}{2x} > 0 \implies \frac{4-2x+x}{2x} > 0 \implies \frac{4-x}{2x} > 0$.

Методом интервалов находим решение: $x \in (0, 4)$.

Находим пересечение решений системы: $(-\infty, 0) \cup [1, \infty)$ и $(0, 4)$. Это дает интервал $[1, 4)$.

Данное решение $x \in [1, 4)$ полностью удовлетворяет ОДЗ ($x \in [1, \infty)$).

Ответ: $x \in [1, 4)$.

2) Решим неравенство $\arcsin\frac{2-x}{x} \ge \frac{\pi}{6}$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого выражения такая же, как и в первом пункте, так как аргумент арксинуса также должен принадлежать отрезку $[-1, 1]$:

$-1 \le \frac{2-x}{x} \le 1$, что дает ОДЗ: $x \in [1, \infty)$.

Функция $y = \arcsin t$ является возрастающей на всей области определения, а ее область значений — $[-\pi/2, \pi/2]$. Учитывая это, исходное неравенство можно записать в виде двойного неравенства:

$\frac{\pi}{6} \le \arcsin\frac{2-x}{x} \le \frac{\pi}{2}$.

Применим ко всем частям этого неравенства функцию синус. Так как $y = \sin t$ возрастает на отрезке $[-\pi/2, \pi/2]$, знаки неравенства сохраняются:

$\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) \le \sin\left(\arcsin\frac{2-x}{x}\right) \le \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)$

$\frac{1}{2} \le \frac{2-x}{x} \le 1$

Мы получили систему неравенств, которую нужно решить с учетом ОДЗ:

$\left\{ \begin{array}{l} \frac{2-x}{x} \le 1 \\ \frac{2-x}{x} \ge \frac{1}{2} \end{array} \right.$

Решение первого неравенства $\frac{2-x}{x} \le 1$ нам известно: $x \in (-\infty, 0) \cup [1, \infty)$.

Решим второе неравенство:

$\frac{2-x}{x} - \frac{1}{2} \ge 0 \implies \frac{2(2-x)-x}{2x} \ge 0 \implies \frac{4-3x}{2x} \ge 0$.

Методом интервалов находим решение: $x \in (0, 4/3]$.

Находим пересечение решений системы: $(-\infty, 0) \cup [1, \infty)$ и $(0, 4/3]$. Это дает отрезок $[1, 4/3]$.

Данное решение $x \in [1, 4/3]$ полностью удовлетворяет ОДЗ ($x \in [1, \infty)$).

Ответ: $x \in [1, 4/3]$.