Номер 69, страница 150, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

*69.

1) При каких значениях параметра $a$ неравенство $(a+2)\sin x-3>0$ выполняется при всех значениях $x$?

2) При каких значениях параметра $a$ неравенство $(a-1)\cos x-2<0$ выполняется при всех значениях $x$?

1) Необходимо найти все значения параметра $a$, при которых неравенство $(a + 2)\sin x - 3 > 0$ выполняется для всех действительных значений $x$.

Перепишем неравенство в виде $(a + 2)\sin x > 3$.

Для того чтобы неравенство выполнялось при любом значении $x$, необходимо и достаточно, чтобы наименьшее (минимальное) значение функции $f(x) = (a + 2)\sin x - 3$ было строго больше нуля. То есть, $\min_{x \in \mathbb{R}} f(x) > 0$.

Значения функции $\sin x$ лежат в отрезке $[-1, 1]$.

Рассмотрим три возможных случая для коэффициента $k = a + 2$.

Случай 1. Коэффициент $a + 2 = 0$, то есть $a = -2$.

Неравенство принимает вид $0 \cdot \sin x - 3 > 0$, что упрощается до $-3 > 0$. Это неверно. Следовательно, $a = -2$ не является решением.

Случай 2. Коэффициент $a + 2 > 0$, то есть $a > -2$.

Так как $a + 2$ — положительное число, наименьшее значение произведения $(a + 2)\sin x$ достигается при наименьшем значении $\sin x$, то есть при $\sin x = -1$.

$\min f(x) = (a + 2) \cdot (-1) - 3 = -a - 2 - 3 = -a - 5$.

Теперь решим неравенство $\min f(x) > 0$:

$-a - 5 > 0$

$-a > 5$

$a < -5$

Мы получили систему условий: $\begin{cases} a > -2 \\ a < -5 \end{cases}$. Эта система не имеет решений, так как не существует числа, которое одновременно больше $-2$ и меньше $-5$.

Случай 3. Коэффициент $a + 2 < 0$, то есть $a < -2$.

Так как $a + 2$ — отрицательное число, наименьшее значение произведения $(a + 2)\sin x$ достигается при наибольшем значении $\sin x$, то есть при $\sin x = 1$.

$\min f(x) = (a + 2) \cdot 1 - 3 = a + 2 - 3 = a - 1$.

Теперь решим неравенство $\min f(x) > 0$:

$a - 1 > 0$

$a > 1$

Мы получили систему условий: $\begin{cases} a < -2 \\ a > 1 \end{cases}$. Эта система также не имеет решений.

Поскольку ни один из случаев не дал решений, таких значений параметра $a$ не существует.

Ответ: таких значений $a$ не существует.

2) Необходимо найти все значения параметра $a$, при которых неравенство $(a - 1)\cos x - 2 < 0$ выполняется для всех действительных значений $x$.

Перепишем неравенство в виде $(a - 1)\cos x < 2$.

Для того чтобы неравенство выполнялось при любом значении $x$, необходимо и достаточно, чтобы наибольшее (максимальное) значение функции $g(x) = (a - 1)\cos x - 2$ было строго меньше нуля. То есть, $\max_{x \in \mathbb{R}} g(x) < 0$.

Значения функции $\cos x$ лежат в отрезке $[-1, 1]$.

Рассмотрим три возможных случая для коэффициента $k = a - 1$.

Случай 1. Коэффициент $a - 1 = 0$, то есть $a = 1$.

Неравенство принимает вид $0 \cdot \cos x - 2 < 0$, что упрощается до $-2 < 0$. Это верно при любом значении $x$. Следовательно, $a = 1$ является решением.

Случай 2. Коэффициент $a - 1 > 0$, то есть $a > 1$.

Так как $a - 1$ — положительное число, наибольшее значение произведения $(a - 1)\cos x$ достигается при наибольшем значении $\cos x$, то есть при $\cos x = 1$.

$\max g(x) = (a - 1) \cdot 1 - 2 = a - 1 - 2 = a - 3$.

Теперь решим неравенство $\max g(x) < 0$:

$a - 3 < 0$

$a < 3$

Мы получили систему условий: $\begin{cases} a > 1 \\ a < 3 \end{cases}$. Решением этой системы является интервал $a \in (1, 3)$.

Случай 3. Коэффициент $a - 1 < 0$, то есть $a < 1$.

Так как $a - 1$ — отрицательное число, наибольшее значение произведения $(a - 1)\cos x$ достигается при наименьшем значении $\cos x$, то есть при $\cos x = -1$.

$\max g(x) = (a - 1) \cdot (-1) - 2 = -(a - 1) - 2 = -a + 1 - 2 = -a - 1$.

Теперь решим неравенство $\max g(x) < 0$:

$-a - 1 < 0$

$-a < 1$

$a > -1$

Мы получили систему условий: $\begin{cases} a < 1 \\ a > -1 \end{cases}$. Решением этой системы является интервал $a \in (-1, 1)$.

Объединяя все найденные решения из трех случаев: $a=1$, $a \in (1, 3)$ и $a \in (-1, 1)$, получаем итоговое множество значений для $a$.

$(-1, 1) \cup \{1\} \cup (1, 3) = (-1, 3)$.

Ответ: $a \in (-1, 3)$.