Номер 66, страница 150, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

*66.

Найдите функцию $f(x)$, если для всех $x \ne 0$, $x \ne 1$ выполняется

$f(x) + f\left(\frac{1}{1-x}\right) = x.$

67.

Дано функциональное уравнение: $f(x) + f\left(\frac{1}{1-x}\right) = x$. Оно должно выполняться для всех $x \neq 0$ и $x \neq 1$.

Для решения этой задачи воспользуемся методом подстановок. Сделаем последовательные замены переменной $x$, чтобы получить систему уравнений, которую затем решим относительно $f(x)$.

Исходное уравнение обозначим как (1):

$f(x) + f\left(\frac{1}{1-x}\right) = x$

Заменим в уравнении (1) переменную $x$ на $\frac{1}{1-x}$. Аргумент второй функции при этом станет $\frac{1}{1 - \frac{1}{1-x}} = \frac{1}{\frac{1-x-1}{1-x}} = \frac{1-x}{-x} = \frac{x-1}{x}$. В результате получим второе уравнение (2):

$f\left(\frac{1}{1-x}\right) + f\left(\frac{x-1}{x}\right) = \frac{1}{1-x}$

Теперь заменим в уравнении (1) переменную $x$ на $\frac{x-1}{x}$. Аргумент второй функции станет $\frac{1}{1 - \frac{x-1}{x}} = \frac{1}{\frac{x-(x-1)}{x}} = \frac{1}{\frac{1}{x}} = x$. Таким образом, мы получаем третье уравнение (3):

$f\left(\frac{x-1}{x}\right) + f(x) = \frac{x-1}{x}$

Мы получили систему из трех линейных уравнений относительно $f(x)$, $f\left(\frac{1}{1-x}\right)$ и $f\left(\frac{x-1}{x}\right)$.

(1) $f(x) + f\left(\frac{1}{1-x}\right) = x$

(2) $f\left(\frac{1}{1-x}\right) + f\left(\frac{x-1}{x}\right) = \frac{1}{1-x}$

(3) $f(x) + f\left(\frac{x-1}{x}\right) = \frac{x-1}{x}$

Решим эту систему методом подстановки. Из уравнения (1) выразим $f\left(\frac{1}{1-x}\right)$:

$f\left(\frac{1}{1-x}\right) = x - f(x)$.

Подставим это выражение в уравнение (2):

$(x - f(x)) + f\left(\frac{x-1}{x}\right) = \frac{1}{1-x}$

Отсюда выразим $f\left(\frac{x-1}{x}\right)$:

$f\left(\frac{x-1}{x}\right) = \frac{1}{1-x} - x + f(x)$.

Теперь подставим полученное выражение для $f\left(\frac{x-1}{x}\right)$ в уравнение (3):

$\left(\frac{1}{1-x} - x + f(x)\right) + f(x) = \frac{x-1}{x}$

$\frac{1}{1-x} - x + 2f(x) = \frac{x-1}{x}$

Выразим из последнего уравнения $2f(x)$:

$2f(x) = \frac{x-1}{x} - \frac{1}{1-x} + x$

$2f(x) = x + \frac{x-1}{x} + \frac{1}{x-1}$

Разделив на 2, получим выражение для $f(x)$. Для получения окончательного вида функции, упростим выражение, приведя его к общему знаменателю $x(x-1)$:

$f(x) = \frac{1}{2}\left(x + \frac{x-1}{x} + \frac{1}{x-1}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{x \cdot x(x-1) + (x-1)(x-1) + 1 \cdot x}{x(x-1)}\right)$

$f(x) = \frac{1}{2}\left(\frac{x^3 - x^2 + x^2 - 2x + 1 + x}{x(x-1)}\right) = \frac{x^3 - x + 1}{2x(x-1)}$

Ответ: $f(x) = \frac{x^3 - x + 1}{2x(x-1)}$.