Номер 60, страница 149, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

60. Докажите, что при любом x имеет место неравенство $x^8 + x^6 - 4x^4 + x^2 + 1 \ge 0$.

60. Для доказательства неравенства $x^8 + x^6 - 4x^4 + x^2 + 1 \ge 0$ преобразуем его левую часть, представив ее в виде суммы неотрицательных слагаемых. Для этого сгруппируем члены многочлена. Представим слагаемое $-4x^4$ как сумму $-2x^4 - 2x^4$ и выполним группировку:

$x^8 + x^6 - 4x^4 + x^2 + 1 = (x^8 - 2x^4 + 1) + (x^6 - 2x^4 + x^2)$

Рассмотрим каждую группу слагаемых в скобках отдельно.

Первая группа, $x^8 - 2x^4 + 1$, является полным квадратом разности. Используя формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, получаем:

$x^8 - 2x^4 + 1 = (x^4)^2 - 2 \cdot x^4 \cdot 1 + 1^2 = (x^4 - 1)^2$

Во второй группе, $x^6 - 2x^4 + x^2$, вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^6 - 2x^4 + x^2 = x^2(x^4 - 2x^2 + 1)$

Выражение в скобках, $x^4 - 2x^2 + 1$, также является полным квадратом разности:

$x^4 - 2x^2 + 1 = (x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 1 + 1^2 = (x^2 - 1)^2$

Таким образом, левую часть исходного неравенства можно переписать в виде суммы:

$(x^4 - 1)^2 + x^2(x^2 - 1)^2$

Теперь проанализируем полученное выражение.

1. Слагаемое $(x^4 - 1)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому оно всегда неотрицательно, то есть $(x^4 - 1)^2 \ge 0$ для любого значения $x$.

2. Слагаемое $x^2(x^2 - 1)^2$ является произведением двух неотрицательных выражений: $x^2 \ge 0$ и $(x^2 - 1)^2 \ge 0$. Произведение неотрицательных чисел также неотрицательно, поэтому $x^2(x^2 - 1)^2 \ge 0$ для любого значения $x$.

Поскольку левая часть исходного неравенства представляет собой сумму двух неотрицательных слагаемых, она сама всегда неотрицательна. Следовательно, $(x^4 - 1)^2 + x^2(x^2 - 1)^2 \ge 0$, что и доказывает справедливость неравенства $x^8 + x^6 - 4x^4 + x^2 + 1 \ge 0$ для любого действительного числа $x$.

Ответ: Неравенство $x^8 + x^6 - 4x^4 + x^2 + 1 \ge 0$ доказано, так как его левая часть может быть представлена в виде суммы неотрицательных слагаемых $(x^4 - 1)^2 + x^2(x^2 - 1)^2$.