Номер 54, страница 149, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

54. Учитель написал на листке бумаги число 20. 35 учащихся передают листок друг другу и каждый из них прибавляет к числу или отнимает от него единицу — как желает. Может ли в результате получиться число 10?

55. Размер массива $2^{30} = 2^{24}$ 0.0001

Для решения этой задачи проанализируем, как изменяется число на листке после каждого действия. Этот метод основан на понятии четности чисел.

Изначально на листке было написано число $20$. Это четное число.

Каждый из $35$ учащихся выполняет одно из двух действий: прибавляет к числу единицу ($+1$) или отнимает от него единицу ($-1$). Оба эти действия изменяют четность числа на противоположную:

- Если число было четным, то после прибавления или вычитания единицы оно станет нечетным (например, $20 + 1 = 21$ или $20 - 1 = 19$).

- Если число было нечетным, то после прибавления или вычитания единицы оно станет четным (например, $21 + 1 = 22$ или $21 - 1 = 20$).

Таким образом, каждый учащийся, выполняя свою операцию, меняет четность числа, которое написано на листке. Проследим за изменением четности числа после каждого действия:

- Исходное число: $20$ (четное).

- После 1-го учащегося: число станет нечетным.

- После 2-го учащегося: число снова станет четным.

- После 3-го учащегося: число снова станет нечетным.

Из этого следует закономерность: после нечетного числа операций (1-й, 3-й, 5-й учащийся и т.д.) число на листке будет нечетным. После четного числа операций (2-й, 4-й, 6-й учащийся и т.д.) число будет четным.

Всего в процессе участвует $35$ учащихся, следовательно, будет выполнено ровно $35$ операций. Поскольку $35$ — это нечетное число, то после всех $35$ операций итоговое число на листке обязательно должно быть нечетным.

В задаче спрашивается, может ли в результате получиться число $10$. Число $10$ является четным.

Так как итоговое число должно быть нечетным, а число $10$ — четное, то получить в результате $10$ невозможно.

Этот вывод можно подтвердить и алгебраическим способом. Пусть $k$ — количество учащихся, которые прибавили единицу. Тогда $(35 - k)$ — количество учащихся, которые отняли единицу. Итоговое число $N$ можно вычислить по формуле:

$N = 20 + k \cdot 1 + (35 - k) \cdot (-1)$

$N = 20 + k - 35 + k$

$N = 2k - 15$

Теперь проверим, может ли $N$ быть равным $10$. Подставим это значение в уравнение:

$10 = 2k - 15$

$2k = 10 + 15$

$2k = 25$

$k = 25 / 2 = 12.5$

Поскольку $k$ представляет собой количество учащихся, это число должно быть целым (в диапазоне от $0$ до $35$). Полученное значение $k=12.5$ не является целым, следовательно, не существует такого целого числа учеников, прибавляющих единицу, чтобы в итоге получилось число $10$.

Ответ: Нет, не может.