Номер 57, страница 149, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

*57. Решите уравнение $tg^2\pi(x + y) + ctg^2\pi(x + y) = \sqrt{\frac{2x}{x^2 + 1}} + 1$.

Для решения данного уравнения воспользуемся методом оценки левой и правой частей. Проанализируем множества значений, которые могут принимать выражения в левой и правой частях уравнения.

1. Анализ левой части уравнения (ЛЧ)

Левая часть уравнения имеет вид $ \tg^2(\pi(x+y)) + \ctg^2(\pi(x+y)) $.

Обозначим $a = \tg^2(\pi(x+y))$. Поскольку это квадрат действительного числа, то $a \ge 0$. Так как $\ctg^2(\pi(x+y)) = \frac{1}{\tg^2(\pi(x+y))}$, то левую часть можно записать в виде $a + \frac{1}{a}$.

Для существования тангенса и котангенса необходимо, чтобы их аргумент $\pi(x+y)$ не был равен $\frac{k\pi}{2}$ для любого целого $k$. Это означает, что $\tg(\pi(x+y)) \ne 0$ и $\ctg(\pi(x+y)) \ne 0$, следовательно, $a > 0$.

Для любого положительного числа $a$ справедливо неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши): $a + \frac{1}{a} \ge 2\sqrt{a \cdot \frac{1}{a}} = 2$. Равенство достигается только в том случае, когда $a = \frac{1}{a}$, то есть $a^2=1$, что для $a>0$ означает $a=1$.

Таким образом, левая часть уравнения всегда не меньше 2:

$\tg^2(\pi(x+y)) + \ctg^2(\pi(x+y)) \ge 2$.

Равенство достигается при условии $\tg^2(\pi(x+y)) = 1$.

2. Анализ правой части уравнения (ПЧ)

Правая часть уравнения имеет вид $\sqrt{\frac{2x}{x^2+1}} + 1$.

Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $\frac{2x}{x^2+1} \ge 0$. Так как знаменатель $x^2+1$ всегда положителен при любом действительном $x$, это неравенство сводится к $2x \ge 0$, то есть $x \ge 0$.

Рассмотрим выражение $\frac{2x}{x^2+1}$. Для любого действительного $x$ справедливо неравенство $(x-1)^2 \ge 0$, которое можно переписать как $x^2 - 2x + 1 \ge 0$, или $x^2+1 \ge 2x$.

Поскольку $x^2+1 > 0$, мы можем разделить обе части неравенства на $x^2+1$, не меняя знака:

$\frac{2x}{x^2+1} \le 1$.

Таким образом, подкоренное выражение удовлетворяет двойному неравенству $0 \le \frac{2x}{x^2+1} \le 1$.

Из этого следует, что $0 \le \sqrt{\frac{2x}{x^2+1}} \le \sqrt{1} = 1$.

Тогда для всей правой части уравнения получаем:

$1 \le \sqrt{\frac{2x}{x^2+1}} + 1 \le 1+1=2$.

Итак, правая часть уравнения всегда не больше 2:

$\sqrt{\frac{2x}{x^2+1}} + 1 \le 2$.

Равенство достигается, когда $\frac{2x}{x^2+1} = 1$, что, как мы видели, эквивалентно $(x-1)^2=0$, то есть при $x=1$.

3. Решение уравнения

Мы получили, что левая часть уравнения всегда не меньше 2, а правая часть всегда не больше 2. Равенство в исходном уравнении возможно тогда и только тогда, когда обе части одновременно равны 2.

$\tg^2(\pi(x+y)) + \ctg^2(\pi(x+y)) = 2$

и

$\sqrt{\frac{2x}{x^2+1}} + 1 = 2$.

Решим второе уравнение, чтобы найти $x$:

$\sqrt{\frac{2x}{x^2+1}} = 1$

$\frac{2x}{x^2+1} = 1$

$2x = x^2+1$

$x^2 - 2x + 1 = 0$

$(x-1)^2 = 0$

$x=1$.

Теперь решим первое уравнение, подставив найденное значение $x=1$:

$\tg^2(\pi(1+y)) = 1$

Это уравнение распадается на два:

$\tg(\pi(1+y)) = 1$ или $\tg(\pi(1+y)) = -1$.

Решения этих уравнений можно объединить в одну серию:

$\pi(1+y) = \frac{\pi}{4} + \frac{n\pi}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Разделим обе части на $\pi$:

$1+y = \frac{1}{4} + \frac{n}{2}$

$y = \frac{1}{4} + \frac{n}{2} - 1$

$y = \frac{n}{2} - \frac{3}{4}$

$y = \frac{2n - 3}{4}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Таким образом, решениями уравнения являются все пары чисел $(x, y)$ указанного вида.

Ответ: $x=1, y = \frac{2n-3}{4}$, где $n \in \mathbb{Z}$.