Номер 52, страница 149, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

$2^{n-1}$

52. Найдите значение суммы $1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2^3 + \dots + 50 \cdot 2^{49}$.

Для нахождения значения данной суммы, обозначим её через $S$:

$S = 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2^3 + \dots + 50 \cdot 2^{49}$

Эту сумму можно записать в компактном виде с использованием знака суммирования:

$S = \sum_{k=1}^{50} k \cdot 2^{k-1}$

Это арифметико-геометрическая прогрессия. Для её вычисления применим стандартный приём. Умножим обе части равенства на знаменатель геометрической прогрессии, то есть на 2:

$2S = 2 \cdot (1 \cdot 2^0 + 2 \cdot 2^1 + 3 \cdot 2^2 + \dots + 50 \cdot 2^{49})$

$2S = 1 \cdot 2^1 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + \dots + 49 \cdot 2^{49} + 50 \cdot 2^{50}$

Теперь вычтем из исходного выражения для $S$ полученное выражение для $2S$. Для удобства запишем их одно под другим, сдвинув слагаемые в $2S$:

$S \phantom{_2} = 1 \cdot 2^0 + 2 \cdot 2^1 + 3 \cdot 2^2 + \dots + 50 \cdot 2^{49}$

$2S = \phantom{1 \cdot 2^0 +} 1 \cdot 2^1 + 2 \cdot 2^2 + \dots + 49 \cdot 2^{49} + 50 \cdot 2^{50}$

Вычитаем второе уравнение из первого ($S - 2S$):

$S - 2S = 1 \cdot 2^0 + (2-1) \cdot 2^1 + (3-2) \cdot 2^2 + \dots + (50-49) \cdot 2^{49} - 50 \cdot 2^{50}$

$-S = 1 \cdot 2^0 + 1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^2 + \dots + 1 \cdot 2^{49} - 50 \cdot 2^{50}$

$-S = (2^0 + 2^1 + 2^2 + \dots + 2^{49}) - 50 \cdot 2^{50}$

Сумма в скобках является суммой первых 50 членов геометрической прогрессии, где первый член $b_1 = 2^0 = 1$ и знаменатель $q = 2$. Найдем эту сумму по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$:

$S_{50} = \frac{1 \cdot (2^{50} - 1)}{2 - 1} = 2^{50} - 1$

Теперь подставим это значение обратно в выражение для $-S$:

$-S = (2^{50} - 1) - 50 \cdot 2^{50}$

$-S = 2^{50} - 50 \cdot 2^{50} - 1$

$-S = (1 - 50) \cdot 2^{50} - 1$

$-S = -49 \cdot 2^{50} - 1$

Наконец, умножим обе части на -1, чтобы найти искомую сумму $S$:

$S = 49 \cdot 2^{50} + 1$

Ответ: $49 \cdot 2^{50} + 1$