Номер 53, страница 149, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

*53. Докажите, что если $a(a + b + c) < 0$, то уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ имеет два действительных корня.

Доказательство:

Для того чтобы доказать, что уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ имеет два действительных корня, мы можем использовать два основных подхода: анализ дискриминанта или анализ свойств квадратичной функции и ее корней. Рассмотрим второй, более изящный подход, использующий теорему Виета.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Нам нужно доказать, что эти корни являются действительными и различными.

По условию задачи дано неравенство $a(a + b + c) < 0$.

Поскольку уравнение является квадратным, коэффициент $a \neq 0$. Следовательно, $a^2 > 0$. Мы можем разделить обе части неравенства на $a^2$, не меняя его знака: $\frac{a(a+b+c)}{a^2} < 0$

Упростим выражение: $\frac{a}{a} + \frac{b}{a} + \frac{c}{a} < 0$ $1 + \frac{b}{a} + \frac{c}{a} < 0$

Согласно теореме Виета, для корней квадратного уравнения справедливы следующие соотношения: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ $x_1 x_2 = \frac{c}{a}$

Подставим эти выражения в полученное неравенство: $1 - (x_1 + x_2) + x_1 x_2 < 0$

Теперь преобразуем левую часть этого неравенства, раскрыв скобки и сгруппировав слагаемые: $1 - x_1 - x_2 + x_1 x_2 < 0$ $(1 - x_1) - x_2(1 - x_1) < 0$ Вынесем общий множитель $(1 - x_1)$: $(1 - x_1)(1 - x_2) < 0$

Полученное неравенство $(1 - x_1)(1 - x_2) < 0$ означает, что произведение двух множителей отрицательно. Это возможно только в том случае, если эти множители являются действительными числами и имеют разные знаки.

Рассмотрим, что это говорит о природе корней $x_1$ и $x_2$:

1. Предположим, что корни $x_1$ и $x_2$ являются комплексными сопряженными числами. Тогда $x_1 = p + iq$ и $x_2 = p - iq$, где $p, q$ — действительные числа и $q \neq 0$. В этом случае множители будут: $1 - x_1 = 1 - (p + iq) = (1-p) - iq$ $1 - x_2 = 1 - (p - iq) = (1-p) + iq$ Их произведение будет равно: $(1 - x_1)(1 - x_2) = ((1-p) - iq)((1-p) + iq) = (1-p)^2 - (iq)^2 = (1-p)^2 + q^2$. Поскольку $p$ и $q$ — действительные числа и $q \neq 0$, то $(1-p)^2 \ge 0$ и $q^2 > 0$. Следовательно, их сумма $(1-p)^2 + q^2$ всегда строго положительна. Это противоречит нашему выводу, что $(1-x_1)(1-x_2) < 0$. Значит, корни не могут быть комплексными.

2. Предположим, что уравнение имеет один действительный корень (то есть два совпадающих корня), $x_1 = x_2$. В этом случае произведение $(1 - x_1)(1 - x_2)$ будет равно $(1-x_1)^2$. Квадрат любого действительного числа является неотрицательным, то есть $(1-x_1)^2 \ge 0$. Это также противоречит неравенству $(1-x_1)(1-x_2) < 0$.

Единственная оставшаяся возможность, которая не приводит к противоречию, заключается в том, что корни $x_1$ и $x_2$ являются действительными и различными числами. Только в этом случае множители $(1-x_1)$ и $(1-x_2)$ могут быть действительными числами с разными знаками, и их произведение может быть отрицательным.

Таким образом, мы доказали, что уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ имеет два действительных различных корня.

Ответ: Утверждение доказано.