Номер 56, страница 149, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

*56. На олимпиаде 10 учащихся решили 35 задач. Известно, что среди них есть решившие ровно одну, ровно две и ровно три задачи. Докажите, что среди учащихся есть один, решивший не менее пяти задач.

$\sqrt{}$

Для решения этой задачи воспользуемся методом доказательства от противного.

Пусть $N=10$ — общее число учащихся, а $S=35$ — общее число решённых ими задач. По условию, в группе есть как минимум по одному учащемуся, решившему ровно одну, ровно две и ровно три задачи.

Нам нужно доказать, что найдётся хотя бы один учащийся, решивший не менее пяти задач.

Сделаем предположение, обратное тому, что требуется доказать: пусть каждый из 10 учащихся решил менее пяти задач, то есть не более четырёх. Это значит, что количество задач, решённых каждым учеником, может быть равно 0, 1, 2, 3 или 4.

Оценим, какое максимальное количество задач могли бы решить 10 учащихся при таком условии. Чтобы сумма решённых задач была максимальной, нужно, чтобы как можно больше учащихся решили как можно больше задач (в нашем случае — 4), не нарушая других условий задачи.

Из условия мы знаем, что есть как минимум:

• один учащийся, решивший 1 задачу;

• один учащийся, решивший 2 задачи;

• один учащийся, решивший 3 задачи.

Эти 3 ученика уже определены условием. Они вместе решили $1 + 2 + 3 = 6$ задач.

Остаётся $10 - 3 = 7$ учащихся. Согласно нашему предположению, каждый из них решил не более 4 задач. Чтобы получить максимально возможную общую сумму, предположим, что каждый из этих 7 учащихся решил максимально возможное для него число задач, то есть 4.

Тогда эти 7 учащихся решили $7 \times 4 = 28$ задач.

Теперь подсчитаем максимально возможное общее число решённых задач всеми 10 учащимися при нашем предположении:

$S_{max} = (\text{задачи первых трёх}) + (\text{задачи остальных семи}) = 6 + 28 = 34$ задачи.

Получается, что если бы ни один учащийся не решил 5 или более задач, то максимальное число задач, которое они все вместе могли бы решить, составило бы 34.

Однако, по условию задачи, учащиеся решили 35 задач. Мы пришли к противоречию, так как $35 > 34$.

Это противоречие означает, что наше исходное предположение было неверным. Следовательно, утверждение о том, что каждый учащийся решил менее пяти задач, ложно. А это значит, что среди учащихся есть как минимум один, решивший не менее пяти задач.

Ответ: Мы доказали утверждение методом от противного. Предположив, что каждый ученик решил не более 4 задач, мы вычислили, что максимальное возможное суммарное количество решенных задач составляет 34. Это противоречит условию, по которому было решено 35 задач. Следовательно, должен быть хотя бы один ученик, решивший 5 или более задач.