Номер 63, страница 149, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

63. Докажите, что если $a+b+c \le 3 (a \ge 0, b \ge 0, c \ge 0)$, то $\frac{a}{a+1} + \frac{b}{b+1} + \frac{c}{c+1} \le \frac{3}{2}$.

Для доказательства данного неравенства сначала преобразуем его левую часть. Каждый член вида $\frac{x}{x+1}$ можно представить в виде $1 - \frac{1}{x+1}$. Применим это преобразование к каждому слагаемому в сумме:

$\frac{a}{a+1} + \frac{b}{b+1} + \frac{c}{c+1} = \left(1 - \frac{1}{a+1}\right) + \left(1 - \frac{1}{b+1}\right) + \left(1 - \frac{1}{c+1}\right)$

Сгруппировав слагаемые, получаем:

$3 - \left(\frac{1}{a+1} + \frac{1}{b+1} + \frac{1}{c+1}\right)$

Теперь исходное неравенство $\frac{a}{a+1} + \frac{b}{b+1} + \frac{c}{c+1} \le \frac{3}{2}$ можно переписать в следующем виде:

$3 - \left(\frac{1}{a+1} + \frac{1}{b+1} + \frac{1}{c+1}\right) \le \frac{3}{2}$

Перенесем слагаемые, чтобы выразить сумму дробей. Это приведет нас к эквивалентному неравенству, которое и будем доказывать:

$3 - \frac{3}{2} \le \frac{1}{a+1} + \frac{1}{b+1} + \frac{1}{c+1}$

$\frac{3}{2} \le \frac{1}{a+1} + \frac{1}{b+1} + \frac{1}{c+1}$

Для доказательства последнего неравенства воспользуемся неравенством Коши-Буняковского-Шварца в форме Энгеля (также известным как лемма Титу), которое для положительных $x_i$ и $y_i$ утверждает:

$\frac{x_1^2}{y_1} + \frac{x_2^2}{y_2} + \dots + \frac{x_n^2}{y_n} \ge \frac{(x_1+x_2+\dots+x_n)^2}{y_1+y_2+\dots+y_n}$

Применим его к сумме $\frac{1}{a+1} + \frac{1}{b+1} + \frac{1}{c+1}$, представив ее как $\frac{1^2}{a+1} + \frac{1^2}{b+1} + \frac{1^2}{c+1}$. Здесь $x_1=x_2=x_3=1$, а $y_1=a+1$, $y_2=b+1$, $y_3=c+1$. Так как по условию $a, b, c \ge 0$, то знаменатели $y_i$ положительны.

$\frac{1^2}{a+1} + \frac{1^2}{b+1} + \frac{1^2}{c+1} \ge \frac{(1+1+1)^2}{(a+1)+(b+1)+(c+1)} = \frac{9}{a+b+c+3}$

Теперь воспользуемся условием задачи: $a+b+c \le 3$. Прибавим 3 к обеим частям этого неравенства:

$a+b+c+3 \le 3+3 = 6$

Поскольку $a,b,c \ge 0$, выражение $a+b+c+3$ положительно. Мы можем взять обратные величины от обеих частей неравенства, изменив при этом его знак на противоположный:

$\frac{1}{a+b+c+3} \ge \frac{1}{6}$

Умножим обе части на 9:

$\frac{9}{a+b+c+3} \ge \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$

Теперь мы можем объединить полученные результаты в одну цепочку неравенств:

$\frac{1}{a+1} + \frac{1}{b+1} + \frac{1}{c+1} \ge \frac{9}{a+b+c+3} \ge \frac{3}{2}$

Таким образом, мы доказали, что $\frac{1}{a+1} + \frac{1}{b+1} + \frac{1}{c+1} \ge \frac{3}{2}$. Поскольку это неравенство эквивалентно исходному, то и исходное неравенство доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать.