Номер 67, страница 150, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

67. Решите уравнение:

1) $ \frac{x^2}{3} + \frac{48}{x^2} = 5\left(\frac{x}{3} + \frac{4}{x}\right); $

2) $ \frac{x^2 - 6x - 9}{x} = \frac{x^2 - 4x - 9}{x^2 - 6x - 9}; $

3) $ x^2 + \frac{x^2}{(x + 1)^2} = 3; $

4) $ x^2 + \frac{9x^2}{(x - 3)^2} = 7. $

1) $\frac{x^2}{3} + \frac{48}{x^2} = 5\left(\frac{x}{3} + \frac{4}{x}\right)$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \ne 0$.

Раскроем скобки в правой части: $\frac{x^2}{3} + \frac{48}{x^2} = \frac{5x}{3} + \frac{20}{x}$.

Это уравнение является симметрическим (возвратным). Заметим, что левая и правая части связаны. Введем замену: $t = \frac{x}{3} + \frac{4}{x}$.

Возведем $t$ в квадрат:

$t^2 = \left(\frac{x}{3} + \frac{4}{x}\right)^2 = \left(\frac{x}{3}\right)^2 + 2 \cdot \frac{x}{3} \cdot \frac{4}{x} + \left(\frac{4}{x}\right)^2 = \frac{x^2}{9} + \frac{8}{3} + \frac{16}{x^2}$.

Выразим из этого равенства выражение, похожее на левую часть исходного уравнения: $\frac{x^2}{9} + \frac{16}{x^2} = t^2 - \frac{8}{3}$.

Левая часть исходного уравнения: $\frac{x^2}{3} + \frac{48}{x^2} = 3 \cdot \left(\frac{x^2}{9} + \frac{16}{x^2}\right)$.

Подставим выражение для суммы квадратов: $3 \cdot \left(t^2 - \frac{8}{3}\right) = 3t^2 - 8$.

Теперь исходное уравнение можно переписать через $t$: $3t^2 - 8 = 5t$.

Получаем квадратное уравнение: $3t^2 - 5t - 8 = 0$.

Решаем его через дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 25 + 96 = 121 = 11^2$.

Корни для $t$: $t_1 = \frac{5 + 11}{2 \cdot 3} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}$; $t_2 = \frac{5 - 11}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$.

Выполним обратную замену для каждого значения $t$.

Случай 1: $t = \frac{8}{3}$.

$\frac{x}{3} + \frac{4}{x} = \frac{8}{3}$.

Умножим обе части на $3x$ (т.к. $x \ne 0$): $x^2 + 12 = 8x$.

$x^2 - 8x + 12 = 0$.

По теореме Виета, корни $x_1 = 2$, $x_2 = 6$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Случай 2: $t = -1$.

$\frac{x}{3} + \frac{4}{x} = -1$.

Умножим обе части на $3x$: $x^2 + 12 = -3x$.

$x^2 + 3x + 12 = 0$.

Дискриминант этого уравнения: $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 9 - 48 = -39$. Так как $D < 0$, действительных корней в этом случае нет.

Ответ: $2; 6$.

2) $\frac{x^2 - 6x - 9}{x} = \frac{x^2 - 4x - 9}{x^2 - 6x - 9}$

ОДЗ: $x \ne 0$ и $x^2 - 6x - 9 \ne 0$.

Введем замену, чтобы упростить уравнение. Пусть $y = x^2 - 6x - 9$.

Заметим, что числитель правой дроби можно выразить через $y$: $x^2 - 4x - 9 = (x^2 - 6x - 9) + 2x = y + 2x$.

Подставим $y$ в исходное уравнение: $\frac{y}{x} = \frac{y + 2x}{y}$.

По свойству пропорции (перекрестное умножение): $y^2 = x(y + 2x)$.

$y^2 = xy + 2x^2$.

$y^2 - xy - 2x^2 = 0$.

Это однородное уравнение второй степени. Разделим его на $x^2$ (мы знаем, что $x \ne 0$):

$\left(\frac{y}{x}\right)^2 - \frac{y}{x} - 2 = 0$.

Сделаем еще одну замену $u = \frac{y}{x}$. Получим квадратное уравнение: $u^2 - u - 2 = 0$.

По теореме Виета, корни $u_1 = 2$, $u_2 = -1$.

Выполним обратную замену.

Случай 1: $u = 2$.

$\frac{y}{x} = 2 \implies y = 2x$.

$x^2 - 6x - 9 = 2x \implies x^2 - 8x - 9 = 0$.

По теореме Виета, корни $x_1 = 9$, $x_2 = -1$. Проверим их по ОДЗ: $x^2 - 6x - 9 \ne 0$.

Для $x=9$: $9^2 - 6(9) - 9 = 81 - 54 - 9 = 18 \ne 0$.

Для $x=-1$: $(-1)^2 - 6(-1) - 9 = 1 + 6 - 9 = -2 \ne 0$. Оба корня подходят.

Случай 2: $u = -1$.

$\frac{y}{x} = -1 \implies y = -x$.

$x^2 - 6x - 9 = -x \implies x^2 - 5x - 9 = 0$.

Решаем через дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 25 + 36 = 61$.

Корни $x_3 = \frac{5 + \sqrt{61}}{2}$, $x_4 = \frac{5 - \sqrt{61}}{2}$. Эти корни не обращают в ноль знаменатель $x^2 - 6x - 9$, так как для этого потребовалось бы, чтобы $y=0$, а у нас $y=-x$. Если $y=0$ и $y=-x$, то $x=0$, что не входит в ОДЗ. Значит, эти корни также являются решениями.

Ответ: $-1; 9; \frac{5 - \sqrt{61}}{2}; \frac{5 + \sqrt{61}}{2}$.

3) $x^2 + \frac{x^2}{(x+1)^2} = 3$

ОДЗ: $(x+1)^2 \ne 0 \implies x \ne -1$.

Перепишем уравнение в виде $x^2 + \left(\frac{x}{x+1}\right)^2 = 3$.

Это выражение вида $a^2+b^2$. Дополним его до полного квадрата разности: $a^2+b^2 = (a-b)^2 + 2ab$.

Пусть $a=x$ и $b=\frac{x}{x+1}$.

$a-b = x - \frac{x}{x+1} = \frac{x(x+1)-x}{x+1} = \frac{x^2+x-x}{x+1} = \frac{x^2}{x+1}$.

$2ab = 2 \cdot x \cdot \frac{x}{x+1} = \frac{2x^2}{x+1}$.

Подставим эти выражения в формулу полного квадрата: $x^2 + \left(\frac{x}{x+1}\right)^2 = \left(\frac{x^2}{x+1}\right)^2 + \frac{2x^2}{x+1}$.

Исходное уравнение примет вид: $\left(\frac{x^2}{x+1}\right)^2 + 2\frac{x^2}{x+1} = 3$.

Введем замену $t = \frac{x^2}{x+1}$. Уравнение превращается в квадратное: $t^2 + 2t - 3 = 0$.

По теореме Виета, корни $t_1 = 1$, $t_2 = -3$.

Выполним обратную замену.

Случай 1: $t=1$.

$\frac{x^2}{x+1} = 1 \implies x^2 = x+1 \implies x^2-x-1 = 0$.

$D = (-1)^2 - 4(1)(-1) = 5$.

Корни $x_1 = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$, $x_2 = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Случай 2: $t=-3$.

$\frac{x^2}{x+1} = -3 \implies x^2 = -3(x+1) \implies x^2+3x+3=0$.

$D = 3^2 - 4(1)(3) = 9-12 = -3$. Так как $D<0$, действительных корней нет.

Ответ: $\frac{1 - \sqrt{5}}{2}; \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$.

4) $x^2 + \frac{9x^2}{(x-3)^2} = 7$

ОДЗ: $(x-3)^2 \ne 0 \implies x \ne 3$.

Перепишем уравнение в виде $x^2 + \left(\frac{3x}{x-3}\right)^2 = 7$.

Это выражение вида $a^2+b^2$. Дополним его до полного квадрата суммы: $a^2+b^2 = (a+b)^2 - 2ab$.

Пусть $a=x$ и $b=\frac{3x}{x-3}$.

$a+b = x + \frac{3x}{x-3} = \frac{x(x-3)+3x}{x-3} = \frac{x^2-3x+3x}{x-3} = \frac{x^2}{x-3}$.

$2ab = 2 \cdot x \cdot \frac{3x}{x-3} = \frac{6x^2}{x-3}$.

Подставим эти выражения в формулу полного квадрата: $x^2 + \left(\frac{3x}{x-3}\right)^2 = \left(\frac{x^2}{x-3}\right)^2 - \frac{6x^2}{x-3}$.

Исходное уравнение примет вид: $\left(\frac{x^2}{x-3}\right)^2 - 6\frac{x^2}{x-3} = 7$.

Введем замену $t = \frac{x^2}{x-3}$. Уравнение превращается в квадратное: $t^2 - 6t - 7 = 0$.

По теореме Виета, корни $t_1 = 7$, $t_2 = -1$.

Выполним обратную замену.

Случай 1: $t=7$.

$\frac{x^2}{x-3} = 7 \implies x^2 = 7(x-3) \implies x^2-7x+21 = 0$.

$D = (-7)^2 - 4(1)(21) = 49 - 84 = -35$. Так как $D<0$, действительных корней нет.

Случай 2: $t=-1$.

$\frac{x^2}{x-3} = -1 \implies x^2 = -(x-3) \implies x^2+x-3=0$.

$D = 1^2 - 4(1)(-3) = 1+12=13$.

Корни $x_1 = \frac{-1+\sqrt{13}}{2}$, $x_2 = \frac{-1-\sqrt{13}}{2}$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $\frac{-1 - \sqrt{13}}{2}; \frac{-1 + \sqrt{13}}{2}$.