Номер 62, страница 149, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

62. Докажите неравенство $1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-1) < n^n$.

Для доказательства неравенства $1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2n - 1) < n^n$ воспользуемся неравенством о среднем арифметическом и среднем геометрическом (также известным как неравенство Коши).

Неравенство о средних для набора из $n$ неотрицательных чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$ утверждает, что их среднее геометрическое не превышает их среднего арифметического:

$\sqrt[n]{a_1 a_2 \dots a_n} \le \frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n}$

При этом равенство достигается только в том случае, когда все числа в наборе равны между собой, то есть $a_1 = a_2 = \dots = a_n$.

Рассмотрим набор, состоящий из первых $n$ нечетных натуральных чисел: $1, 3, 5, \dots, (2n - 1)$.

Найдем среднее арифметическое (СА) этих $n$ чисел:

$СА = \frac{1 + 3 + 5 + \dots + (2n - 1)}{n}$

Сумма в числителе является суммой первых $n$ членов арифметической прогрессии с первым членом $a_1 = 1$ и последним членом $a_n = 2n - 1$. Сумма арифметической прогрессии вычисляется по формуле $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$.

Подставив наши значения, получаем:

$S_n = \frac{n(1 + (2n - 1))}{2} = \frac{n(2n)}{2} = n^2$

Следовательно, среднее арифметическое равно:

$СА = \frac{n^2}{n} = n$

Среднее геометрическое (СГ) для этого же набора чисел равно:

$СГ = \sqrt[n]{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2n - 1)}$

Применяя неравенство о средних, получаем:

$СГ \le СА$

$\sqrt[n]{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2n - 1)} \le n$

Теперь рассмотрим условие, при котором в этом неравенстве достигается равенство. Равенство $СГ = СА$ возможно только тогда, когда все числа в наборе равны, то есть $1 = 3 = 5 = \dots = (2n - 1)$. Это верно только при $n=1$.

Для любого натурального числа $n > 1$ числа в наборе $1, 3, 5, \dots, (2n - 1)$ не равны друг другу. Следовательно, для $n > 1$ неравенство о средних будет строгим:

$\sqrt[n]{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2n - 1)} < n$

Чтобы получить исходное неравенство, возведем обе части этого строгого неравенства в степень $n$. Так как обе части положительны, знак неравенства при этом не изменится:

$(\sqrt[n]{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2n - 1)})^n < n^n$

$1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2n - 1) < n^n$

Таким образом, мы доказали, что неравенство справедливо для всех натуральных чисел $n \ge 2$.

Проверим случай $n=1$. Неравенство принимает вид $1 < 1^1$, то есть $1 < 1$, что является ложным утверждением. Значит, для $n=1$ неравенство не выполняется.

Ответ: Неравенство $1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2n - 1) < n^n$ доказано для всех натуральных чисел $n \ge 2$. Для $n=1$ неравенство неверно, так как оно превращается в $1 < 1$.