Номер 68, страница 150, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

68. Решите уравнение $2\cos^4x - 3\sin^2x = a$, если один из его корней

равен $\frac{\pi}{6}$.

Поскольку $x = \frac{\pi}{6}$ является одним из корней уравнения, мы можем подставить это значение в уравнение, чтобы найти параметр $a$.

1. Нахождение параметра a

Подставим $x = \frac{\pi}{6}$ в уравнение $2\cos^4 x - 3\sin^2 x = a$.

Нам известны значения тригонометрических функций для этого угла:

$\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$

Подставляем эти значения в уравнение:

$a = 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^4 - 3\left(\frac{1}{2}\right)^2$

$a = 2\left(\frac{9}{16}\right) - 3\left(\frac{1}{4}\right)$

$a = \frac{18}{16} - \frac{3}{4} = \frac{9}{8} - \frac{3}{4}$

Приводя к общему знаменателю, получаем:

$a = \frac{9}{8} - \frac{6}{8} = \frac{3}{8}$

Итак, мы нашли значение параметра $a = \frac{3}{8}$.

2. Решение уравнения

Теперь решаем уравнение с найденным значением $a$:

$2\cos^4 x - 3\sin^2 x = \frac{3}{8}$

Для решения этого уравнения используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, откуда $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$. Заменим $\sin^2 x$ в уравнении:

$2\cos^4 x - 3(1 - \cos^2 x) = \frac{3}{8}$

$2\cos^4 x - 3 + 3\cos^2 x = \frac{3}{8}$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$2\cos^4 x + 3\cos^2 x - 3 - \frac{3}{8} = 0$

$2\cos^4 x + 3\cos^2 x - \frac{27}{8} = 0$

Умножим все уравнение на 8, чтобы избавиться от знаменателя:

$16\cos^4 x + 24\cos^2 x - 27 = 0$

Это биквадратное уравнение относительно $\cos x$. Сделаем замену переменной: пусть $t = \cos^2 x$. Поскольку $0 \le \cos^2 x \le 1$, то $0 \le t \le 1$.

$16t^2 + 24t - 27 = 0$

Решаем это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = 24^2 - 4 \cdot 16 \cdot (-27) = 576 + 1728 = 2304$

$\sqrt{D} = \sqrt{2304} = 48$

Находим корни для $t$:

$t_1 = \frac{-24 + 48}{2 \cdot 16} = \frac{24}{32} = \frac{3}{4}$

$t_2 = \frac{-24 - 48}{2 \cdot 16} = \frac{-72}{32} = -\frac{9}{4}$

Корень $t_2 = -\frac{9}{4}$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому он является посторонним.

Корень $t_1 = \frac{3}{4}$ удовлетворяет условию $0 \le t \le 1$. Выполняем обратную замену:

$\cos^2 x = \frac{3}{4}$

Отсюда получаем два простейших уравнения:

$\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ или $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Решения первого уравнения: $x = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Решения второго уравнения: $x = \pm\frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Эти два множества решений можно объединить в одну формулу:

$x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.