gdz.top
Номер 58, страница 149, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер
Авторы: Абылкасымова А. Е., Кучер Т. П., Корчевский В. Е., Жумагулова З. А.
Тип: Учебник
Издательство: Мектеп
Год издания: 2019 - 2025
Часть: 2
Цвет обложки:
ISBN: 978-601-07-1183-9 (ч. 1) 978-601-07-1184-6 (ч. 2)
Утверждено Министерством образования и науки Республики Казахстан
Популярные ГДЗ в 10 классе
Часть 2. Глава 10. Случайные величины и их числовые характеристики. Упражнения для повторения курса алгебры и начал анализа за 10 класс - номер 58, страница 149.
№57
№58 (с. 149)
Условие. №58 (с. 149)
58. Найдите значение выражения $\frac{1}{2!} + \frac{2}{3!} + \frac{3}{4!} + \dots + \frac{n}{(n+1)!}$.
Решение 2 (rus). №58 (с. 149)
Для нахождения значения данного выражения, представим его в виде суммы:
$S_n = \frac{1}{2!} + \frac{2}{3!} + \frac{3}{4!} + \dots + \frac{n}{(n+1)!} = \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{(k+1)!}$
Рассмотрим общий член этой суммы $a_k = \frac{k}{(k+1)!}$. Преобразуем его, представив числитель $k$ в виде разности $(k+1)-1$.
$a_k = \frac{(k+1)-1}{(k+1)!}$
Теперь разделим эту дробь на две части:
$a_k = \frac{k+1}{(k+1)!} - \frac{1}{(k+1)!}$
Используя свойство факториала, согласно которому $(k+1)! = (k+1) \cdot k!$, мы можем упростить первое слагаемое:
$\frac{k+1}{(k+1)!} = \frac{k+1}{(k+1) \cdot k!} = \frac{1}{k!}$
Таким образом, общий член суммы можно записать в виде разности:
$a_k = \frac{1}{k!} - \frac{1}{(k+1)!}$
Теперь исходная сумма $S_n$ является телескопической суммой, так как каждый следующий член частично сокращается с предыдущим:
$S_n = \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{k!} - \frac{1}{(k+1)!}\right)$
Распишем несколько первых и последний члены этой суммы:
$S_n = \left(\frac{1}{1!} - \frac{1}{2!}\right) + \left(\frac{1}{2!} - \frac{1}{3!}\right) + \left(\frac{1}{3!} - \frac{1}{4!}\right) + \dots + \left(\frac{1}{n!} - \frac{1}{(n+1)!}\right)$
Как видно, все внутренние члены суммы взаимно уничтожаются: $-\frac{1}{2!}$ сокращается с $+\frac{1}{2!}$, $-\frac{1}{3!}$ сокращается с $+\frac{1}{3!}$ и так далее. В результате от всей суммы остаются только первый член первой пары и последний член последней пары:
$S_n = \frac{1}{1!} - \frac{1}{(n+1)!}$
Поскольку $1! = 1$, значение выражения равно:
$S_n = 1 - \frac{1}{(n+1)!}$
Ответ: $1 - \frac{1}{(n+1)!}$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 58 расположенного на странице 149 для 2-й части к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №58 (с. 149), авторов: Абылкасымова (Алма Есимбековна), Кучер (Татьяна Павловна), Корчевский (Владимир Евгеньевич), Жумагулова (Зауре Абдыкеновна), 2-й части учебного пособия издательства Мектеп.