Номер 55, страница 149, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

*55. Решите уравнение $\sin^{20}x \cdot \cos^{24}x = 0,0001$.

Рассмотрим данное уравнение: $sin^{20}x \cdot cos^{24}x = 0,0001$.

Левая часть уравнения представляет собой произведение степеней синуса и косинуса. Чтобы решить это уравнение, мы можем исследовать максимальное значение функции в левой части. Пусть $f(x) = sin^{20}x \cdot cos^{24}x$.

Поскольку $sin^2x \ge 0$ и $cos^2x \ge 0$, левая часть уравнения всегда неотрицательна. Мы можем переписать $f(x)$ как $f(x) = (sin^2x)^{10} \cdot (cos^2x)^{12}$.

Для нахождения максимального значения этой функции воспользуемся неравенством о средних арифметическом и геометрическом (неравенством Коши). Для неотрицательных чисел $a_1, a_2, ..., a_n$ справедливо неравенство $\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n} \ge \sqrt[n]{a_1a_2...a_n}$, причем равенство достигается тогда и только тогда, когда $a_1=a_2=...=a_n$.

Рассмотрим 22 числа: десять чисел, равных $\frac{sin^2x}{10}$, и двенадцать чисел, равных $\frac{cos^2x}{12}$.

Их среднее арифметическое равно:$A = \frac{10 \cdot \frac{sin^2x}{10} + 12 \cdot \frac{cos^2x}{12}}{10+12} = \frac{sin^2x + cos^2x}{22} = \frac{1}{22}$.

Их среднее геометрическое равно:$G = \sqrt[22]{(\frac{sin^2x}{10})^{10} \cdot (\frac{cos^2x}{12})^{12}} = \sqrt[22]{\frac{sin^{20}x \cdot cos^{24}x}{10^{10} \cdot 12^{12}}}$.

Согласно неравенству Коши, $A \ge G$:$\frac{1}{22} \ge \sqrt[22]{\frac{sin^{20}x \cdot cos^{24}x}{10^{10} \cdot 12^{12}}}$.

Возведем обе части неравенства в 22-ю степень:$(\frac{1}{22})^{22} \ge \frac{sin^{20}x \cdot cos^{24}x}{10^{10} \cdot 12^{12}}$.

Отсюда получаем оценку для левой части исходного уравнения:$sin^{20}x \cdot cos^{24}x \le \frac{10^{10} \cdot 12^{12}}{22^{22}}$.

Таким образом, максимальное значение левой части уравнения равно $M = \frac{10^{10} \cdot 12^{12}}{22^{22}}$. Равенство достигается, когда все числа равны, то есть $\frac{sin^2x}{10} = \frac{cos^2x}{12}$.

Теперь сравним это максимальное значение с правой частью уравнения, которая равна $0,0001 = \frac{1}{10000} = 10^{-4}$. Нам нужно доказать, что $M < 10^{-4}$.

$\frac{10^{10} \cdot 12^{12}}{22^{22}} < \frac{1}{10^4}$

Домножим обе части на $10^4 \cdot 22^{22}$:$10^{10} \cdot 12^{12} \cdot 10^4 < 22^{22}$

$10^{14} \cdot 12^{12} < 22^{22}$

Разложим числа на простые множители:$(2 \cdot 5)^{14} \cdot (2^2 \cdot 3)^{12} < (2 \cdot 11)^{22}$

$2^{14} \cdot 5^{14} \cdot 2^{24} \cdot 3^{12} < 2^{22} \cdot 11^{22}$

$2^{38} \cdot 3^{12} \cdot 5^{14} < 2^{22} \cdot 11^{22}$

Разделим обе части на $2^{22}$ (это положительное число):$2^{16} \cdot 3^{12} \cdot 5^{14} < 11^{22}$.

Докажем это неравенство. Для этого будем использовать цепочку более простых и очевидных неравенств.

1. Сравним $2^{16}$ и $11^5$:$2^{16} = 65536$.$11^5 = 11^2 \cdot 11^3 = 121 \cdot 1331 = 161051$.Очевидно, что $65536 < 161051$, следовательно, $2^{16} < 11^5$.

2. Заменив в доказываемом неравенстве $2^{16}$ на большее число $11^5$, мы получим:$2^{16} \cdot 3^{12} \cdot 5^{14} < 11^5 \cdot 3^{12} \cdot 5^{14}$.Теперь достаточно доказать, что $11^5 \cdot 3^{12} \cdot 5^{14} < 11^{22}$.Разделив на $11^5$, получаем: $3^{12} \cdot 5^{14} < 11^{17}$.

3. Преобразуем левую часть:$3^{12} \cdot 5^{14} = (3^6)^2 \cdot (5^7)^2 = (729)^2 \cdot (78125)^2$. Это сложно.Попробуем по-другому: $3^{12} \cdot 5^{14} = 3^{12} \cdot 5^{12} \cdot 5^2 = (3 \cdot 5)^{12} \cdot 5^2 = 15^{12} \cdot 25$.Нужно доказать, что $25 \cdot 15^{12} < 11^{17}$.Это все еще сложно. Вернемся к $3^{12} \cdot 5^{14} < 11^{17}$.$5^{14} = (5^2)^7 = 25^7$.$3^{12} = (3^3)^4 = 27^4$.Так как $25 < 27$, то $25^7 < 27^7$.Следовательно, $3^{12} \cdot 5^{14} = 27^4 \cdot 25^7 < 27^4 \cdot 27^7 = 27^{11}$.

4. Теперь достаточно доказать, что $27^{11} < 11^{17}$.Это неравенство эквивалентно $27 < 11^{17/11}$.Поскольку $17/11 = 1 + 6/11$, а $1.5 = 1 + 1/2 = 1+5.5/11$, то $17/11 > 1.5$.Так как основание $11 > 1$, функция $y=11^x$ возрастающая, поэтому $11^{17/11} > 11^{1.5}$.Докажем более сильное неравенство: $27 < 11^{1.5}$.$11^{1.5} = 11^{3/2} = \sqrt{11^3} = \sqrt{1331}$.Неравенство: $27 < \sqrt{1331}$.Так как обе части положительны, возведем их в квадрат:$27^2 < 1331$$729 < 1331$.Это верное неравенство. Следовательно, все предыдущие неравенства также верны.

Мы доказали, что $2^{16} \cdot 3^{12} \cdot 5^{14} < 11^{22}$, что означает$\frac{10^{10} \cdot 12^{12}}{22^{22}} < 10^{-4}$.

Таким образом, максимальное значение левой части уравнения строго меньше, чем его правая часть:$f(x)_{max} = \frac{10^{10} \cdot 12^{12}}{22^{22}} < 0,0001$.

Это означает, что левая часть никогда не сможет быть равной правой части. Следовательно, у уравнения нет действительных решений.

Ответ: решений нет (или $x \in \emptyset$).