Номер 1624, страница 431 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Задачи для внеклассной работы - номер 1624, страница 431.

Условие.

1624 Найти наибольшее и наименьшее значения функции

$y = \frac{2 \cos^4 x + \sin^2 x}{2 \sin^4 x + 3 \cos^2 x}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = \frac{2 \cos^4 x + \sin^2 x}{2 \sin^4 x + 3 \cos^2 x}$ выполним преобразования, введя замену переменной.

Пусть $t = \cos^2 x$. Так как $0 \le \cos^2 x \le 1$, то новая переменная $t$ принимает значения из отрезка $[0, 1]$.

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, выразим $\sin^2 x$ через $t$: $\sin^2 x = 1 - t$.

Теперь выразим всю функцию через переменную $t$. Для этого также найдем выражения для $\cos^4 x$ и $\sin^4 x$:

$\cos^4 x = (\cos^2 x)^2 = t^2$

$\sin^4 x = (\sin^2 x)^2 = (1-t)^2$

Подставим полученные выражения в числитель и знаменатель исходной функции:

Числитель: $2 \cos^4 x + \sin^2 x = 2t^2 + (1-t) = 2t^2 - t + 1$.

Знаменатель: $2 \sin^4 x + 3 \cos^2 x = 2(1-t)^2 + 3t = 2(1 - 2t + t^2) + 3t = 2 - 4t + 2t^2 + 3t = 2t^2 - t + 2$.

Таким образом, исходная функция сводится к функции от переменной $t$:

$y(t) = \frac{2t^2 - t + 1}{2t^2 - t + 2}$

Задача свелась к нахождению наибольшего и наименьшего значений функции $y(t)$ на отрезке $t \in [0, 1]$.

Преобразуем выражение для $y(t)$, чтобы упростить анализ:

$y(t) = \frac{(2t^2 - t + 2) - 1}{2t^2 - t + 2} = 1 - \frac{1}{2t^2 - t + 2}$

Обозначим знаменатель $g(t) = 2t^2 - t + 2$. Чтобы найти экстремумы $y(t)$, нужно исследовать на экстремум функцию $g(t)$ на отрезке $[0, 1]$. Заметим, что функция $y(t)$ достигает своего наибольшего значения, когда выражение $\frac{1}{g(t)}$ минимально, что соответствует максимальному значению $g(t)$. И наоборот, $y(t)$ достигает своего наименьшего значения, когда $\frac{1}{g(t)}$ максимально, что соответствует минимальному значению $g(t)$.

Функция $g(t) = 2t^2 - t + 2$ является параболой с ветвями, направленными вверх. Ее наименьшее значение достигается в вершине. Найдем абсциссу вершины:

$t_в = -\frac{-1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}$

Поскольку $t_в = 1/4$ принадлежит отрезку $[0, 1]$, наименьшее значение $g(t)$ на этом отрезке достигается в этой точке.

$g_{min} = g(1/4) = 2\left(\frac{1}{4}\right)^2 - \frac{1}{4} + 2 = 2 \cdot \frac{1}{16} - \frac{1}{4} + 2 = \frac{1}{8} - \frac{2}{8} + \frac{16}{8} = \frac{15}{8}$.

Наибольшее значение квадратичной функции на отрезке достигается на одном из его концов. Сравним значения $g(t)$ в точках $t=0$ и $t=1$:

$g(0) = 2(0)^2 - 0 + 2 = 2$

$g(1) = 2(1)^2 - 1 + 2 = 3$

Следовательно, наибольшее значение $g(t)$ на отрезке $[0, 1]$ равно $g_{max} = 3$.

Теперь мы можем найти наибольшее и наименьшее значения функции $y$:

Наименьшее значение $y$ (соответствует $g_{min} = 15/8$):

$y_{min} = 1 - \frac{1}{g_{min}} = 1 - \frac{1}{15/8} = 1 - \frac{8}{15} = \frac{7}{15}$.

Наибольшее значение $y$ (соответствует $g_{max} = 3$):

$y_{max} = 1 - \frac{1}{g_{max}} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.

Ответ: Наибольшее значение функции равно $\frac{2}{3}$, наименьшее значение функции равно $\frac{7}{15}$.