Номер 1621, страница 431 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Задачи для внеклассной работы - номер 1621, страница 431.

Условие.

1621 Найти все значения $a$, при которых наименьшее значение функции $y = x^2 + (a + 4) x + 2a + 3$ на отрезке $[0; 2]$ равно $-4$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

Данная функция $y(x) = x^2 + (a + 4)x + 2a + 3$ является квадратичной. Ее график — парабола с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число). Наименьшее значение такой функции на отрезке $[0; 2]$ зависит от расположения вершины параболы относительно этого отрезка.

Найдем абсциссу вершины параболы $x_в$ по формуле $x_в = -\frac{b}{2a_{коэф}}$:

$x_в = -\frac{a+4}{2 \cdot 1} = -\frac{a+4}{2}$

Рассмотрим три возможных случая расположения вершины относительно отрезка $[0; 2]$.

Случай 1: Вершина параболы находится внутри отрезка $[0; 2]$

Это условие записывается в виде неравенства: $0 \le x_в \le 2$.

$0 \le -\frac{a+4}{2} \le 2$

Умножим все части неравенства на -2, изменив знаки неравенства на противоположные:

$0 \ge a+4 \ge -4$, что эквивалентно $-8 \le a \le -4$.

В этом случае наименьшее значение функции на отрезке совпадает со значением функции в вершине, то есть $y_{наим} = y(x_в)$.

$y(x_в) = \left(-\frac{a+4}{2}\right)^2 + (a+4)\left(-\frac{a+4}{2}\right) + 2a+3 = \frac{(a+4)^2}{4} - \frac{(a+4)^2}{2} + 2a+3 = -\frac{(a+4)^2}{4} + 2a+3$

$y(x_в) = -\frac{a^2+8a+16}{4} + 2a+3 = -\frac{1}{4}a^2 - 2a - 4 + 2a + 3 = -\frac{1}{4}a^2 - 1$

По условию задачи, наименьшее значение равно -4:

$-\frac{1}{4}a^2 - 1 = -4$

$-\frac{1}{4}a^2 = -3$

$a^2 = 12 \Rightarrow a = \pm\sqrt{12} = \pm2\sqrt{3}$

Проверим, удовлетворяют ли найденные значения условию $-8 \le a \le -4$.

Значение $a = 2\sqrt{3} \approx 3.46$ не входит в данный промежуток.

Значение $a = -2\sqrt{3} \approx -3.46$ также не входит в данный промежуток, так как $-3.46 > -4$.

Следовательно, в этом случае решений нет.

Случай 2: Вершина параболы находится левее отрезка $[0; 2]$

Это условие означает, что $x_в < 0$.

$-\frac{a+4}{2} < 0 \Rightarrow a+4 > 0 \Rightarrow a > -4$.

В этом случае функция $y(x)$ возрастает на всем отрезке $[0; 2]$, и ее наименьшее значение достигается в левой границе отрезка, то есть при $x=0$.

$y_{наим} = y(0) = 0^2 + (a+4) \cdot 0 + 2a+3 = 2a+3$.

Приравняем это значение к -4:

$2a+3 = -4$

$2a = -7 \Rightarrow a = -3.5$.

Проверим, удовлетворяет ли это значение условию $a > -4$.

$-3.5 > -4$. Условие выполнено.

Таким образом, $a = -3.5$ является решением.

Случай 3: Вершина параболы находится правее отрезка $[0; 2]$

Это условие означает, что $x_в > 2$.

$-\frac{a+4}{2} > 2 \Rightarrow a+4 < -4 \Rightarrow a < -8$.

В этом случае функция $y(x)$ убывает на всем отрезке $[0; 2]$, и ее наименьшее значение достигается в правой границе отрезка, то есть при $x=2$.

$y_{наим} = y(2) = 2^2 + (a+4) \cdot 2 + 2a+3 = 4 + 2a + 8 + 2a + 3 = 4a+15$.

Приравняем это значение к -4:

$4a+15 = -4$

$4a = -19 \Rightarrow a = -19/4 = -4.75$.

Проверим, удовлетворяет ли это значение условию $a < -8$.

$-4.75 < -8$. Неравенство неверно.

Следовательно, в этом случае решений нет.

Объединив результаты всех трех случаев, мы получаем единственное значение параметра $a$, удовлетворяющее условию задачи.

Ответ: $a = -3.5$.