Номер 1620, страница 431 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Задачи для внеклассной работы - номер 1620, страница 431.

Условие.

1620 Найти все значения $x$, при которых функция $y = 6 \cos^2 x + 6 \sin x - 2$ принимает наибольшее значение.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

Для того чтобы найти значения $x$, при которых функция $y = 6 \cos^2 x + 6 \sin x - 2$ принимает наибольшее значение, преобразуем данное выражение. Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, из которого выразим $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$.

Подставим это выражение в исходную функцию:

$y = 6(1 - \sin^2 x) + 6 \sin x - 2$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$y = 6 - 6 \sin^2 x + 6 \sin x - 2$

$y = -6 \sin^2 x + 6 \sin x + 4$

Чтобы найти наибольшее значение этой функции, введем замену переменной. Пусть $t = \sin x$. Так как область значений синуса $[-1, 1]$, то для переменной $t$ справедливо ограничение $t \in [-1, 1]$.

После замены функция примет вид квадратичной зависимости от переменной $t$:

$y(t) = -6t^2 + 6t + 4$

Это функция параболы, ветви которой направлены вниз, так как старший коэффициент $a = -6$ отрицателен. Следовательно, свое наибольшее значение эта функция достигает в вершине параболы.

Координату вершины параболы $t_0$ найдем по формуле $t_0 = -\frac{b}{2a}$, где $a = -6$ и $b = 6$.

$t_0 = -\frac{6}{2 \cdot (-6)} = -\frac{6}{-12} = \frac{1}{2}$

Полученное значение $t_0 = \frac{1}{2}$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$, на котором мы ищем максимум. Таким образом, функция $y(t)$ достигает своего наибольшего значения при $t = \frac{1}{2}$.

Теперь необходимо найти все значения $x$, для которых выполняется это условие. Вернемся к замене:

$\sin x = t_0$

$\sin x = \frac{1}{2}$

Решениями этого простейшего тригонометрического уравнения являются серии корней, которые можно записать в виде общей формулы:

$x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Именно при этих значениях $x$ исходная функция принимает свое наибольшее значение.

Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.