Номер 1613, страница 431 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Задачи для внеклассной работы - номер 1613, страница 431.

Условие.

1613 1) $ \log_{\frac{1}{2}}(1+x) - \sqrt{x^2-4} \le 0; $

2) $ \frac{1}{\log_5 (3-2x)} - \frac{1}{4 - \log_5 (3-2x)} < 0. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Решим неравенство $ \log_{\frac{1}{2}}(1 + x) - \sqrt{x^2 - 4} \le 0 $.

Перенесем корень в правую часть:

$ \log_{\frac{1}{2}}(1 + x) \le \sqrt{x^2 - 4} $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Для этого решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 1 + x > 0 \\ x^2 - 4 \ge 0 \end{cases} $

Из первого неравенства получаем $ x > -1 $.

Второе неравенство $ (x - 2)(x + 2) \ge 0 $ выполняется при $ x \in (-\infty, -2] \cup [2, +\infty) $.

Пересекая оба условия $ x > -1 $ и $ x \in (-\infty, -2] \cup [2, +\infty) $, получаем ОДЗ: $ x \in [2, +\infty) $.

Теперь рассмотрим исходное неравенство на найденной ОДЗ $ x \ge 2 $.

Проанализируем левую и правую части неравенства.

Левая часть: $ f(x) = \log_{\frac{1}{2}}(1 + x) $.
Так как основание логарифма $ \frac{1}{2} < 1 $, логарифмическая функция является убывающей.
На ОДЗ $ x \ge 2 $, аргумент логарифма $ 1 + x \ge 3 $.
Следовательно, $ \log_{\frac{1}{2}}(1 + x) \le \log_{\frac{1}{2}}(3) $.
Поскольку $ \log_{\frac{1}{2}}(3) = -\log_2(3) < 0 $, то левая часть неравенства всегда отрицательна на ОДЗ.

Правая часть: $ g(x) = \sqrt{x^2 - 4} $.
На ОДЗ $ x \ge 2 $, подкоренное выражение $ x^2 - 4 \ge 0 $. Значение квадратного корня всегда неотрицательно, то есть $ \sqrt{x^2 - 4} \ge 0 $.

Таким образом, мы сравниваем отрицательное число (левая часть) с неотрицательным числом (правая часть). Отрицательное число всегда меньше или равно неотрицательному. Следовательно, неравенство $ \log_{\frac{1}{2}}(1 + x) \le \sqrt{x^2 - 4} $ выполняется для всех $ x $ из области допустимых значений.

Ответ: $ x \in [2, +\infty) $

2)

Решим неравенство $ \frac{1}{\log_5(3 - 2x)} - \frac{1}{4 - \log_5(3 - 2x)} < 0 $.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$ \begin{cases} 3 - 2x > 0 \\ \log_5(3 - 2x) \ne 0 \\ 4 - \log_5(3 - 2x) \ne 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x < 3 \\ 3 - 2x \ne 1 \\ \log_5(3 - 2x) \ne 4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 1.5 \\ 2x \ne 2 \\ 3 - 2x \ne 5^4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 1.5 \\ x \ne 1 \\ -2x \ne 622 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 1.5 \\ x \ne 1 \\ x \ne -311 \end{cases} $

ОДЗ: $ x \in (-\infty, -311) \cup (-311, 1) \cup (1, 1.5) $.

Сделаем замену переменной. Пусть $ t = \log_5(3 - 2x) $. Неравенство примет вид:

$ \frac{1}{t} - \frac{1}{4 - t} < 0 $

Приведем дроби к общему знаменателю:

$ \frac{(4 - t) - t}{t(4 - t)} < 0 $

$ \frac{4 - 2t}{t(4 - t)} < 0 $

Решим это неравенство методом интервалов для переменной $ t $. Найдем нули числителя и знаменателя:

$ 4 - 2t = 0 \Rightarrow t = 2 $

$ t = 0 $

$ 4 - t = 0 \Rightarrow t = 4 $

Отметим точки $ t=0, t=2, t=4 $ на числовой оси и определим знаки выражения в полученных интервалах.

Выражение $ \frac{4 - 2t}{t(4 - t)} $ отрицательно при $ t \in (-\infty, 0) \cup (2, 4) $.

Теперь выполним обратную замену.

Случай 1: $ t < 0 $

$ \log_5(3 - 2x) < 0 $

Так как основание логарифма $ 5 > 1 $, знак неравенства сохраняется:

$ 3 - 2x < 5^0 $

$ 3 - 2x < 1 $

$ 2 < 2x $

$ x > 1 $

Случай 2: $ 2 < t < 4 $

$ 2 < \log_5(3 - 2x) < 4 $

$ \log_5(5^2) < \log_5(3 - 2x) < \log_5(5^4) $

Так как основание логарифма $ 5 > 1 $, знаки неравенств сохраняются:

$ 25 < 3 - 2x < 625 $

Вычтем 3 из всех частей двойного неравенства:

$ 22 < -2x < 622 $

Разделим все части на -2, изменив знаки неравенств на противоположные:

$ -11 > x > -311 $, что эквивалентно $ -311 < x < -11 $.

Объединим полученные решения и учтем ОДЗ: $ x \in (-\infty, -311) \cup (-311, 1) \cup (1, 1.5) $.

Решение $ x > 1 $ с учетом ОДЗ дает интервал $ (1, 1.5) $.

Решение $ -311 < x < -11 $ полностью входит в ОДЗ.

Итоговое решение является объединением этих результатов.

Ответ: $ x \in (-311, -11) \cup (1, 1.5) $