Номер 1608, страница 430 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Задачи для внеклассной работы - номер 1608, страница 430.

Условие.

1608 1) $ \begin{cases} 27 \cdot 3^{2x - y} + 3^{x^2} = 4 \sqrt{3}, \\ \lg (y - 4x) = 2 \lg (2 + 2x - y) - \lg y; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} 8 \cdot 2^{-x - 2y} + 2^{y^2} = 3 \sqrt{2}, \\ \lg (x + 4y) = 2 \lg (2 - x - 2y) - \lg x. \end{cases} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Рассмотрим систему уравнений:

$$ \begin{cases} 27 \cdot 3^{2x - y} + 3^{x^2} = 4\sqrt{3}, \\ \lg(y - 4x) = 2\lg(2 + 2x - y) - \lg y \end{cases} $$

Начнем со второго уравнения. Определим область допустимых значений (ОДЗ) для логарифмов:

$$ \begin{cases} y - 4x > 0 \\ 2 + 2x - y > 0 \\ y > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} y > 4x \\ y < 2 + 2x \\ y > 0 \end{cases} $$

Из первых двух неравенств следует $4x < y < 2 + 2x$, откуда $4x < 2 + 2x \implies 2x < 2 \implies x < 1$.

Преобразуем второе уравнение, используя свойства логарифмов ($n\lg a = \lg a^n$ и $\lg a - \lg b = \lg(a/b)$):

$\lg(y - 4x) = \lg((2 + 2x - y)^2) - \lg y$

$\lg(y - 4x) = \lg\left(\frac{(2 + 2x - y)^2}{y}\right)$

Поскольку логарифмическая функция является монотонной, мы можем приравнять аргументы:

$y(y - 4x) = (2 + 2x - y)^2$

$y^2 - 4xy = 4 + 4(2x - y) + (2x - y)^2$

$y^2 - 4xy = 4 + 8x - 4y + 4x^2 - 4xy + y^2$

Упростим уравнение, сократив одинаковые члены с обеих сторон:

$0 = 4x^2 + 8x - 4y + 4$

Разделим все уравнение на 4:

$x^2 + 2x - y + 1 = 0$

Отсюда выразим $y$ через $x$:

$y = x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$

Теперь проверим ОДЗ с учетом найденной зависимости:

1. $y > 4x \implies (x+1)^2 > 4x \implies x^2 + 2x + 1 > 4x \implies x^2 - 2x + 1 > 0 \implies (x-1)^2 > 0 \implies x \neq 1$.

2. $y < 2 + 2x \implies (x+1)^2 < 2 + 2x \implies x^2 + 2x + 1 < 2 + 2x \implies x^2 < 1 \implies -1 < x < 1$.

3. $y > 0 \implies (x+1)^2 > 0 \implies x \neq -1$.

Объединяя условия, получаем, что ОДЗ для переменной $x$ есть интервал $(-1, 1)$.

Подставим $y = (x+1)^2$ в первое уравнение системы:

$27 \cdot 3^{2x - (x+1)^2} + 3^{x^2} = 4\sqrt{3}$

$3^3 \cdot 3^{2x - (x^2+2x+1)} + 3^{x^2} = 4 \cdot 3^{1/2}$

$3^{3+2x-x^2-2x-1} + 3^{x^2} = 4 \cdot 3^{1/2}$

$3^{2-x^2} + 3^{x^2} = 4\sqrt{3}$

Сделаем замену переменной: пусть $t = 3^{x^2}$. Поскольку $-1 < x < 1$, то $0 \le x^2 < 1$, следовательно $3^0 \le 3^{x^2} < 3^1$, то есть $1 \le t < 3$.

Уравнение примет вид:

$\frac{3^2}{3^{x^2}} + 3^{x^2} = 4\sqrt{3} \implies \frac{9}{t} + t = 4\sqrt{3}$

Умножим на $t$ (где $t \neq 0$) и получим квадратное уравнение:

$t^2 - 4\sqrt{3} t + 9 = 0$

Решим его. Дискриминант $D = (-4\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 16 \cdot 3 - 36 = 48 - 36 = 12$.

Корни уравнения: $t = \frac{4\sqrt{3} \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4\sqrt{3} \pm 2\sqrt{3}}{2}$.

$t_1 = \frac{4\sqrt{3} + 2\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ и $t_2 = \frac{4\sqrt{3} - 2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.

Проверим корни, учитывая ограничение $1 \le t < 3$. Корень $t_1 = 3\sqrt{3} \approx 3 \cdot 1.732 = 5.196$, что больше 3, поэтому он является посторонним. Корень $t_2 = \sqrt{3} \approx 1.732$, что удовлетворяет условию $1 \le \sqrt{3} < 3$.

Выполним обратную замену для $t_2$: $3^{x^2} = \sqrt{3} = 3^{1/2}$.

Отсюда $x^2 = 1/2$, что дает два решения: $x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$. Оба значения $x$ принадлежат ОДЗ $(-1, 1)$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$ по формуле $y=(x+1)^2$:

1. При $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $y = \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + 1\right)^2 = \left(\frac{\sqrt{2}+2}{2}\right)^2 = \frac{2+4\sqrt{2}+4}{4} = \frac{6+4\sqrt{2}}{4} = \frac{3+2\sqrt{2}}{2}$.

2. При $x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, $y = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2} + 1\right)^2 = \left(\frac{2-\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{4-4\sqrt{2}+2}{4} = \frac{6-4\sqrt{2}}{4} = \frac{3-2\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{3+2\sqrt{2}}{2}\right), \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{3-2\sqrt{2}}{2}\right)$.

2)

Рассмотрим систему уравнений:

$$ \begin{cases} 8 \cdot 2^{-x - 2y} + 2^{y^2} = 3\sqrt{2}, \\ \lg(x + 4y) = 2\lg(2 - x - 2y) - \lg x \end{cases} $$

Начнем со второго уравнения. Определим область допустимых значений (ОДЗ) для логарифмов:

$$ \begin{cases} x + 4y > 0 \\ 2 - x - 2y > 0 \\ x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x + 4y > 0 \\ x + 2y < 2 \\ x > 0 \end{cases} $$

Преобразуем второе уравнение, используя свойства логарифмов:

$\lg(x + 4y) = \lg((2 - x - 2y)^2) - \lg x$

$\lg(x + 4y) = \lg\left(\frac{(2 - x - 2y)^2}{x}\right)$

Приравниваем аргументы логарифмов:

$x(x + 4y) = (2 - (x + 2y))^2$

$x^2 + 4xy = 4 - 4(x+2y) + (x+2y)^2$

$x^2 + 4xy = 4 - 4x - 8y + x^2 + 4xy + 4y^2$

Упростим уравнение:

$0 = 4y^2 - 4x - 8y + 4$

Разделим все уравнение на 4:

$y^2 - x - 2y + 1 = 0$

Отсюда выразим $x$ через $y$:

$x = y^2 - 2y + 1 = (y-1)^2$

Проверим ОДЗ с учетом найденной зависимости:

1. $x + 4y > 0 \implies (y-1)^2 + 4y > 0 \implies y^2 - 2y + 1 + 4y > 0 \implies y^2 + 2y + 1 > 0 \implies (y+1)^2 > 0 \implies y \neq -1$.

2. $x + 2y < 2 \implies (y-1)^2 + 2y < 2 \implies y^2 - 2y + 1 + 2y < 2 \implies y^2 + 1 < 2 \implies y^2 < 1 \implies -1 < y < 1$.

3. $x > 0 \implies (y-1)^2 > 0 \implies y \neq 1$.

Объединяя условия, получаем, что ОДЗ для переменной $y$ есть интервал $(-1, 1)$.

Подставим $x = (y-1)^2$ в первое уравнение системы:

$8 \cdot 2^{-(y-1)^2 - 2y} + 2^{y^2} = 3\sqrt{2}$

$2^3 \cdot 2^{-(y^2 - 2y + 1) - 2y} + 2^{y^2} = 3 \cdot 2^{1/2}$

$2^{3 - y^2 + 2y - 1 - 2y} + 2^{y^2} = 3 \cdot 2^{1/2}$

$2^{2 - y^2} + 2^{y^2} = 3\sqrt{2}$

Сделаем замену переменной: пусть $t = 2^{y^2}$. Поскольку $-1 < y < 1$, то $0 \le y^2 < 1$, следовательно $2^0 \le 2^{y^2} < 2^1$, то есть $1 \le t < 2$.

Уравнение примет вид:

$\frac{2^2}{2^{y^2}} + 2^{y^2} = 3\sqrt{2} \implies \frac{4}{t} + t = 3\sqrt{2}$

Умножим на $t$ и получим квадратное уравнение:

$t^2 - 3\sqrt{2} t + 4 = 0$

Решим его. Дискриминант $D = (-3\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 18 - 16 = 2$.

Корни уравнения: $t = \frac{3\sqrt{2} \pm \sqrt{2}}{2}$.

$t_1 = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ и $t_2 = \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$.

Проверим корни, учитывая ограничение $1 \le t < 2$. Корень $t_1 = 2\sqrt{2} \approx 2.828$, что больше 2, поэтому он является посторонним. Корень $t_2 = \sqrt{2} \approx 1.414$, что удовлетворяет условию $1 \le \sqrt{2} < 2$.

Выполним обратную замену для $t_2$: $2^{y^2} = \sqrt{2} = 2^{1/2}$.

Отсюда $y^2 = 1/2$, что дает два решения: $y = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$. Оба значения $y$ принадлежат ОДЗ $(-1, 1)$.

Теперь найдем соответствующие значения $x$ по формуле $x=(y-1)^2$:

1. При $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $x = \left(\frac{\sqrt{2}}{2} - 1\right)^2 = \left(\frac{\sqrt{2}-2}{2}\right)^2 = \frac{2-4\sqrt{2}+4}{4} = \frac{6-4\sqrt{2}}{4} = \frac{3-2\sqrt{2}}{2}$.

2. При $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, $x = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2} - 1\right)^2 = \left(\frac{-(\sqrt{2}+2)}{2}\right)^2 = \frac{2+4\sqrt{2}+4}{4} = \frac{6+4\sqrt{2}}{4} = \frac{3+2\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\left(\frac{3-2\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right), \left(\frac{3+2\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.