Номер 1601, страница 430 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Задачи для внеклассной работы - номер 1601, страница 430.

Условие.

1601 $\frac{2 \sin x}{\cos x - \cos 3x} - \frac{1}{3} = 4 \sin^2 \left(x + \frac{\pi}{4}\right).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

Преобразуем обе части уравнения.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби в левой части не должен быть равен нулю:

$$ \cos x - \cos 3x \neq 0 $$

Используем формулу разности косинусов $ \cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} $:

$$ -2\sin\frac{x+3x}{2}\sin\frac{x-3x}{2} \neq 0 $$

$$ -2\sin(2x)\sin(-x) \neq 0 $$

Так как $ \sin(-x) = -\sin x $, получаем:

$$ 2\sin(2x)\sin x \neq 0 $$

Это означает, что $ \sin x \neq 0 $ и $ \sin(2x) \neq 0 $.

Из $ \sin x \neq 0 $ следует $ x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Из $ \sin(2x) \neq 0 $ следует $ 2x \neq \pi n $, то есть $ x \neq \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z} $.

Второе условие ($ x \neq \frac{\pi n}{2} $) является более строгим и включает в себя первое. Таким образом, ОДЗ: $ x \neq \frac{\pi n}{2} $ для любого целого $ n $.

Теперь упростим левую часть уравнения на ОДЗ:

$$ \frac{2 \sin x}{\cos x - \cos 3x} = \frac{2 \sin x}{2\sin(2x)\sin x} = \frac{1}{\sin(2x)} $$

Упростим правую часть уравнения, используя формулу понижения степени $ \sin^2\alpha = \frac{1-\cos(2\alpha)}{2} $:

$$ 4 \sin^2\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 4 \cdot \frac{1 - \cos\left(2\left(x + \frac{\pi}{4}\right)\right)}{2} = 2\left(1 - \cos\left(2x + \frac{\pi}{2}\right)\right) $$

Применим формулу приведения $ \cos\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin\alpha $:

$$ 2(1 - (-\sin(2x))) = 2(1 + \sin(2x)) $$

Подставим упрощенные выражения обратно в исходное уравнение:

$$ \frac{1}{\sin(2x)} - \frac{1}{3} = 2(1 + \sin(2x)) $$

Сделаем замену переменной. Пусть $ t = \sin(2x) $. Из ОДЗ следует, что $ t \neq 0 $. Также, по определению синуса, $ -1 \le t \le 1 $.

Уравнение примет вид:

$$ \frac{1}{t} - \frac{1}{3} = 2(1+t) $$

Умножим обе части на $ 3t $ (это возможно, так как $ t \neq 0 $):

$$ 3 - t = 6t(1+t) $$

$$ 3 - t = 6t + 6t^2 $$

$$ 6t^2 + 7t - 3 = 0 $$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$$ D = 7^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-3) = 49 + 72 = 121 = 11^2 $$

Корни уравнения для $ t $:

$$ t_1 = \frac{-7 - 11}{2 \cdot 6} = \frac{-18}{12} = -\frac{3}{2} $$

$$ t_2 = \frac{-7 + 11}{2 \cdot 6} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} $$

Проверим корни на соответствие условиям $ -1 \le t \le 1 $ и $ t \neq 0 $.

Корень $ t_1 = -1.5 $ не удовлетворяет условию $ -1 \le t \le 1 $, значит, он является посторонним.

Корень $ t_2 = \frac{1}{3} $ удовлетворяет всем условиям.

Выполним обратную замену:

$$ \sin(2x) = \frac{1}{3} $$

Общее решение этого тригонометрического уравнения:

$$ 2x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$

Отсюда находим $ x $:

$$ x = \frac{1}{2}(-1)^k \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} $$

Эти значения не попадают в ограничения ОДЗ ($ x \neq \frac{\pi n}{2} $), так как $ \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) $ не является числом, кратным $ \pi $.

Ответ: $ x = \frac{1}{2}(-1)^k \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} $.