Номер 1598, страница 429 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Задачи для внеклассной работы - номер 1598, страница 429.

Условие.

1598 1) $1 + \log_x (5 - x) = \log_7 4 \cdot \log_x 7;$

2) $(\log_9 (7 - x) + 1) \log_{3 - x} 3 = 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

1) $1 + \log_x (5 - x) = \log_7 4 \cdot \log_x 7$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Основание логарифма $x$ должно быть больше нуля и не равно единице. Выражение под знаком логарифма $5-x$ должно быть строго больше нуля.

$\begin{cases} x > 0 \\ x \ne 1 \\ 5 - x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x \ne 1 \\ x < 5 \end{cases}$

Таким образом, ОДЗ: $x \in (0, 1) \cup (1, 5)$.

Теперь преобразуем правую часть уравнения. Воспользуемся свойством логарифмов: $\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$. Поменяв множители местами, получаем:

$\log_7 4 \cdot \log_x 7 = \log_x 7 \cdot \log_7 4 = \log_x 4$.

Подставим это обратно в уравнение:

$1 + \log_x (5 - x) = \log_x 4$.

Представим единицу как логарифм с основанием $x$: $1 = \log_x x$.

$\log_x x + \log_x (5 - x) = \log_x 4$.

Используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$:

$\log_x (x(5 - x)) = \log_x 4$.

Так как основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы:

$x(5 - x) = 4$

$5x - x^2 = 4$

$x^2 - 5x + 4 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а произведение равно 4. Следовательно, корни:

$x_1 = 1$, $x_2 = 4$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ $x \in (0, 1) \cup (1, 5)$.

- Корень $x_1 = 1$ не удовлетворяет ОДЗ, так как основание логарифма не может быть равно 1.

- Корень $x_2 = 4$ удовлетворяет ОДЗ, так как $0 < 4 < 5$ и $4 \ne 1$.

Ответ: $4$.

2) $(\log_9 (7 - x) + 1) \log_{3-x} 3 = 1$

Определим ОДЗ. Аргумент логарифма $7-x$ должен быть положителен. Основание логарифма $3-x$ должно быть положительно и не равно единице.

$\begin{cases} 7 - x > 0 \\ 3 - x > 0 \\ 3 - x \ne 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 7 \\ x < 3 \\ x \ne 2 \end{cases}$

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \in (-\infty, 2) \cup (2, 3)$.

Поскольку $\log_{3-x} 3 \ne 0$ для любых $x$ из ОДЗ, мы можем разделить обе части уравнения на этот множитель:

$\log_9 (7 - x) + 1 = \frac{1}{\log_{3-x} 3}$.

Используем формулу замены основания $\frac{1}{\log_a b} = \log_b a$ для правой части уравнения:

$\log_9 (7 - x) + 1 = \log_3 (3 - x)$.

Приведем все логарифмы к основанию 3. Заметим, что $9 = 3^2$, и представим $1 = \log_3 3$:

$\log_{3^2} (7 - x) + \log_3 3 = \log_3 (3 - x)$.

Используя свойство $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$, получаем:

$\frac{1}{2} \log_3 (7 - x) + \log_3 3 = \log_3 (3 - x)$.

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

$\log_3 (7 - x) + 2\log_3 3 = 2\log_3 (3 - x)$.

Применим свойство $k \log_a b = \log_a (b^k)$:

$\log_3 (7 - x) + \log_3 (3^2) = \log_3 ((3 - x)^2)$.

Теперь воспользуемся свойством суммы логарифмов:

$\log_3 (9(7 - x)) = \log_3 ((3 - x)^2)$.

Приравниваем аргументы логарифмов:

$9(7 - x) = (3 - x)^2$

$63 - 9x = 9 - 6x + x^2$.

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:

$x^2 - 6x + 9x + 9 - 63 = 0$

$x^2 + 3x - 54 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -3, а их произведение -54. Корни:

$x_1 = 6$, $x_2 = -9$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ $x \in (-\infty, 2) \cup (2, 3)$.

- Корень $x_1 = 6$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $6$ не меньше $3$.

- Корень $x_2 = -9$ удовлетворяет ОДЗ, так как $-9 < 2$.

Ответ: $-9$.