Номер 1593, страница 429 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Задачи для внеклассной работы - номер 1593, страница 429.

Условие.

1593 Через точку графика функции $y = \sqrt{x}$ с абсциссой $a$, где $\frac{1}{2} \leq a \leq 2$, проведена касательная к этому графику. Найти значение $a$, при котором площадь треугольника, ограниченного этой касательной, осью $Ox$ и прямой $x = 3$, будет наименьшей, и вычислить эту наименьшую площадь.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения задачи сначала найдем уравнение касательной к графику функции $y = \sqrt{x}$ в точке с абсциссой $a$. Общее уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

В нашем случае $f(x) = \sqrt{x}$ и точка касания имеет абсциссу $x_0 = a$. Находим производную функции: $f'(x) = (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Значение функции в точке касания равно $f(a) = \sqrt{a}$, а значение производной (угловой коэффициент касательной) равно $f'(a) = \frac{1}{2\sqrt{a}}$.

Подставляем найденные значения в общее уравнение касательной: $y = \sqrt{a} + \frac{1}{2\sqrt{a}}(x - a)$.

Упростим полученное выражение: $y = \sqrt{a} + \frac{x}{2\sqrt{a}} - \frac{a}{2\sqrt{a}} = \sqrt{a} + \frac{x}{2\sqrt{a}} - \frac{\sqrt{a}}{2} = \frac{2\sqrt{a} - \sqrt{a}}{2} + \frac{x}{2\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}}{2} + \frac{x}{2\sqrt{a}}$.

Таким образом, уравнение касательной имеет вид: $y = \frac{x+a}{2\sqrt{a}}$.

Далее определим вершины треугольника, который ограничен касательной $y = \frac{x+a}{2\sqrt{a}}$, осью $Ox$ (прямая $y=0$) и прямой $x=3$.

• Вершина 1: Пересечение касательной и оси $Ox$.
  При $y=0$ имеем $0 = \frac{x+a}{2\sqrt{a}}$, откуда $x+a=0$, то есть $x=-a$. Координаты вершины: $(-a, 0)$.
• Вершина 2: Пересечение оси $Ox$ и прямой $x=3$.
  Координаты вершины: $(3, 0)$.
• Вершина 3: Пересечение касательной и прямой $x=3$.
  Подставляем $x=3$ в уравнение касательной: $y = \frac{3+a}{2\sqrt{a}}$. Координаты вершины: $(3, \frac{3+a}{2\sqrt{a}})$.

Треугольник является прямоугольным, так как его стороны лежат на взаимно перпендикулярных прямых $y=0$ и $x=3$. Найдем его площадь.

Длина основания (катета на оси $Ox$) равна разности абсцисс вершин: $3 - (-a) = 3+a$.

Высота (катет, параллельный оси $Oy$) равна ординате третьей вершины: $\frac{3+a}{2\sqrt{a}}$.

Площадь треугольника $S$ как функция от $a$: $S(a) = \frac{1}{2} \cdot (3+a) \cdot \frac{3+a}{2\sqrt{a}} = \frac{(3+a)^2}{4\sqrt{a}}$.

Теперь необходимо найти наименьшее значение функции $S(a)$ на отрезке $\frac{1}{2} \le a \le 2$. Для этого найдем производную $S'(a)$.

$S'(a) = \left(\frac{(3+a)^2}{4\sqrt{a}}\right)' = \frac{1}{4} \cdot \frac{((3+a)^2)'\sqrt{a} - (3+a)^2(\sqrt{a})'}{(\sqrt{a})^2} = \frac{1}{4a} \left( 2(3+a)\sqrt{a} - (3+a)^2 \frac{1}{2\sqrt{a}} \right)$.

Вынесем за скобки общий множитель $\frac{3+a}{2\sqrt{a}}$: $S'(a) = \frac{3+a}{8a\sqrt{a}} (4a - (3+a)) = \frac{3+a}{8a\sqrt{a}} (3a-3) = \frac{3(a+3)(a-1)}{8a\sqrt{a}}$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $S'(a)=0$. $3(a+3)(a-1)=0$.

Так как по условию $a \ge \frac{1}{2}$, то множитель $(a+3)$ всегда положителен. Следовательно, производная обращается в ноль только при $a-1=0$, то есть $a=1$. Эта точка принадлежит отрезку $[\frac{1}{2}, 2]$.

Определим знак производной на интервалах, на которые точка $a=1$ разбивает отрезок $[\frac{1}{2}, 2]$.

• При $a \in [\frac{1}{2}, 1)$ имеем $(a-1) < 0$, следовательно $S'(a) < 0$. Функция $S(a)$ убывает.
• При $a \in (1, 2]$ имеем $(a-1) > 0$, следовательно $S'(a) > 0$. Функция $S(a)$ возрастает.

Таким образом, в точке $a=1$ функция площади $S(a)$ достигает своего локального и глобального минимума на заданном отрезке.

Вычислим значение этой наименьшей площади, подставив $a=1$ в формулу для $S(a)$: $S_{min} = S(1) = \frac{(3+1)^2}{4\sqrt{1}} = \frac{4^2}{4} = \frac{16}{4} = 4$.

Ответ: наименьшая площадь треугольника достигается при $a=1$ и равна 4.