Номер 1586, страница 428 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Задачи для внеклассной работы - номер 1586, страница 428.

Условие.

1586 Найти все значения x, при которых касательные к графикам функций $y = 3 \cos 5x$ и $y = 5 \cos 3x + 2$ в точках с абсциссой x параллельны.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

Условие параллельности касательных к графикам функций в точках с одной и той же абсциссой $x$ заключается в равенстве их угловых коэффициентов. Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке $x$ равен значению производной этой функции в данной точке.

Даны две функции: $f(x) = 3 \cos 5x$ и $g(x) = 5 \cos 3x + 2$.

Найдем производные этих функций.

Производная первой функции $f(x)$: $f'(x) = (3 \cos 5x)' = 3 \cdot (-\sin 5x) \cdot (5x)' = -15 \sin 5x$.

Производная второй функции $g(x)$: $g'(x) = (5 \cos 3x + 2)' = 5 \cdot (-\sin 3x) \cdot (3x)' + 0 = -15 \sin 3x$.

Чтобы касательные были параллельны, их угловые коэффициенты (производные) должны быть равны: $f'(x) = g'(x)$ $-15 \sin 5x = -15 \sin 3x$

Разделим обе части уравнения на $-15$: $\sin 5x = \sin 3x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть: $\sin 5x - \sin 3x = 0$

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой разности синусов: $\sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \cos \frac{\alpha + \beta}{2}$.

Применим формулу к нашему уравнению: $2 \sin \frac{5x - 3x}{2} \cos \frac{5x + 3x}{2} = 0$ $2 \sin \frac{2x}{2} \cos \frac{8x}{2} = 0$ $2 \sin x \cos 4x = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к двум независимым уравнениям:

1) $\sin x = 0$
Решением этого тригонометрического уравнения является серия корней: $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos 4x = 0$
Решением этого тригонометрического уравнения является серия корней: $4x = \frac{\pi}{2} + \pi k$
Разделим обе части на 4, чтобы выразить $x$: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Объединяя решения обоих случаев, мы получаем все значения $x$, при которых касательные к графикам данных функций параллельны.

Ответ: $x = \pi n$, $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.