Номер 1583, страница 428 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Задачи для внеклассной работы - номер 1583, страница 428.

Условие.

1583 Вычислить:

1) $ \cos \left(\arcsin \frac{3}{5}\right); $

2) $ \sin \left(\arccos \left(-\frac{5}{13}\right)\right). $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

1) Обозначим $ \alpha = \arcsin\left(\frac{3}{5}\right) $. По определению арксинуса, это означает, что $ \sin(\alpha) = \frac{3}{5} $ и угол $ \alpha $ находится в промежутке $ \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] $. Нам нужно найти $ \cos(\alpha) $. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $ \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 $. Отсюда $ \cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha) $. Подставим известное значение синуса: $ \cos^2(\alpha) = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{25-9}{25} = \frac{16}{25} $. Следовательно, $ \cos(\alpha) = \pm\sqrt{\frac{16}{25}} = \pm\frac{4}{5} $. Поскольку $ \alpha \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] $, косинус в этом диапазоне (I и IV четверти) неотрицателен, то есть $ \cos(\alpha) \ge 0 $. Поэтому мы выбираем положительное значение. Таким образом, $ \cos\left(\arcsin\frac{3}{5}\right) = \frac{4}{5} $.
Ответ: $ \frac{4}{5} $

2) Обозначим $ \beta = \arccos\left(-\frac{5}{13}\right) $. По определению арккосинуса, это означает, что $ \cos(\beta) = -\frac{5}{13} $ и угол $ \beta $ находится в промежутке $ [0, \pi] $. Нам нужно найти $ \sin(\beta) $. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $ \sin^2(\beta) + \cos^2(\beta) = 1 $. Отсюда $ \sin^2(\beta) = 1 - \cos^2(\beta) $. Подставим известное значение косинуса: $ \sin^2(\beta) = 1 - \left(-\frac{5}{13}\right)^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169-25}{169} = \frac{144}{169} $. Следовательно, $ \sin(\beta) = \pm\sqrt{\frac{144}{169}} = \pm\frac{12}{13} $. Поскольку $ \beta \in [0, \pi] $, синус в этом диапазоне (I и II четверти) неотрицателен, то есть $ \sin(\beta) \ge 0 $. Поэтому мы выбираем положительное значение. Таким образом, $ \sin\left(\arccos\left(-\frac{5}{13}\right)\right) = \frac{12}{13} $.
Ответ: $ \frac{12}{13} $