Номер 1578, страница 427 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Задачи для внеклассной работы - номер 1578, страница 427.

Условие.

1578 $\sqrt{\frac{3x^3 - 22x^2 + 40x}{x-4}} \ge 3x - 10.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения иррационального неравенства $ \sqrt{\frac{3x^3 - 22x^2 + 40x}{x-4}} \ge 3x - 10 $ сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ).

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель не должен быть равен нулю:

$$ \frac{3x^3 - 22x^2 + 40x}{x-4} \ge 0 $$

Разложим числитель на множители. Вынесем $x$ за скобки: $x(3x^2 - 22x + 40)$.

Найдем корни квадратного трехчлена $3x^2 - 22x + 40 = 0$.

Дискриминант $D = (-22)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 40 = 484 - 480 = 4 = 2^2$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{22 \pm 2}{2 \cdot 3}$.

$x_1 = \frac{22+2}{6} = \frac{24}{6} = 4$.

$x_2 = \frac{22-2}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}$.

Следовательно, числитель можно представить в виде $x(x-4)(3x-10)$.

Неравенство для ОДЗ примет вид:

$$ \frac{x(3x-10)(x-4)}{x-4} \ge 0 $$

Данное выражение определено при $x \ne 4$. При этом условии мы можем сократить дробь, и неравенство становится равносильным системе:

$$ \begin{cases} x(3x-10) \ge 0 \\ x \ne 4 \end{cases} $$

Решением неравенства $x(3x-10) \ge 0$ методом интервалов являются промежутки $(-\infty, 0] \cup [\frac{10}{3}, \infty)$. Учитывая, что $x \ne 4$, получаем ОДЗ:

$x \in (-\infty, 0] \cup [\frac{10}{3}, 4) \cup (4, \infty)$.

Теперь решим исходное неравенство на найденной ОДЗ. На этой области неравенство эквивалентно следующему:

$$ \sqrt{x(3x-10)} \ge 3x - 10 $$

Разобьем решение на два случая в зависимости от знака выражения в правой части.

Случай 1: $3x - 10 < 0$.

Это условие выполняется при $3x < 10$, то есть $x < \frac{10}{3}$. В этом случае правая часть неравенства отрицательна, а левая часть (квадратный корень) по определению неотрицательна. Неравенство вида "неотрицательное число $\ge$ отрицательное число" всегда истинно. Следовательно, решением в этом случае будут все значения $x$ из ОДЗ, удовлетворяющие условию $x < \frac{10}{3}$.

Пересекая ОДЗ $x \in (-\infty, 0] \cup [\frac{10}{3}, 4) \cup (4, \infty)$ с условием $x < \frac{10}{3}$, получаем решение для первого случая:

$x \in (-\infty, 0]$.

Случай 2: $3x - 10 \ge 0$.

Это условие выполняется при $x \ge \frac{10}{3}$. В этом случае обе части неравенства неотрицательны, поэтому мы можем возвести обе части в квадрат, не меняя знака неравенства:

$$ x(3x-10) \ge (3x-10)^2 $$

Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель $(3x-10)$:

$$ x(3x-10) - (3x-10)^2 \ge 0 $$

$$ (3x-10)(x - (3x-10)) \ge 0 $$

$$ (3x-10)(x - 3x + 10) \ge 0 $$

$$ (3x-10)(-2x + 10) \ge 0 $$

Вынесем $-2$ из второй скобки:

$$ -2(3x-10)(x - 5) \ge 0 $$

Разделим обе части на $-2$ и изменим знак неравенства на противоположный:

$$ (3x-10)(x - 5) \le 0 $$

Корни этого выражения: $x = \frac{10}{3}$ и $x = 5$. Решением этого неравенства является отрезок $[\frac{10}{3}, 5]$.

Теперь необходимо учесть условие этого случая $x \ge \frac{10}{3}$ и ОДЗ. Решение $[\frac{10}{3}, 5]$ полностью удовлетворяет условию $x \ge \frac{10}{3}$.

Найдем пересечение этого решения с соответствующей частью ОДЗ: $x \in [\frac{10}{3}, 4) \cup (4, \infty)$.

Пересечение отрезка $[\frac{10}{3}, 5]$ и множества $[\frac{10}{3}, 4) \cup (4, \infty)$ дает:

$x \in [\frac{10}{3}, 4) \cup (4, 5]$.

Объединяя решения из двух случаев, получаем окончательный ответ.

Из случая 1: $x \in (-\infty, 0]$.

Из случая 2: $x \in [\frac{10}{3}, 4) \cup (4, 5]$.

Итоговое решение является объединением этих множеств.

Ответ: $x \in (-\infty, 0] \cup [\frac{10}{3}, 4) \cup (4, 5]$.