Номер 1579, страница 427 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Задачи для внеклассной работы - номер 1579, страница 427.

Условие.

1579 При всех $a$ решить неравенство $|x - 5a| \le 4a - 3$ и указать все значения $a$, при которых решения этого неравенства являются решениями неравенства $x^2 - 4x - 5 < 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

При всех $a$ решить неравенство $|x - 5a| \le 4a - 3$

Данное неравенство $|x - 5a| \le 4a - 3$ имеет решения только в том случае, если его правая часть неотрицательна, так как значение модуля всегда неотрицательно.

Рассмотрим два случая в зависимости от знака выражения $4a - 3$.

1. Если $4a - 3 < 0$, то есть $a < \frac{3}{4}$.

В этом случае правая часть неравенства отрицательна. Так как $|x - 5a| \ge 0$, неравенство не может выполняться. Следовательно, решений нет.

2. Если $4a - 3 \ge 0$, то есть $a \ge \frac{3}{4}$.

В этом случае неравенство равносильно системе неравенств (или двойному неравенству):

$-(4a - 3) \le x - 5a \le 4a - 3$

Чтобы выразить $x$, прибавим $5a$ ко всем частям двойного неравенства:

$5a - 4a + 3 \le x \le 5a + 4a - 3$

$a + 3 \le x \le 9a - 3$

Решением является отрезок $[a + 3, 9a - 3]$.

Ответ: если $a < \frac{3}{4}$, то $x \in \emptyset$; если $a \ge \frac{3}{4}$, то $x \in [a + 3, 9a - 3]$.

Указать все значения $a$, при которых решения этого неравенства являются решениями неравенства $x^2 - 4x - 5 < 0$

Пусть $S_1$ — множество решений неравенства $|x - 5a| \le 4a - 3$, а $S_2$ — множество решений неравенства $x^2 - 4x - 5 < 0$. Требуется найти все $a$, для которых $S_1 \subseteq S_2$.

Сначала найдем множество $S_2$. Решим неравенство $x^2 - 4x - 5 < 0$.

Корни квадратного уравнения $x^2 - 4x - 5 = 0$ — это $x_1 = -1$ и $x_2 = 5$. График функции $y = x^2 - 4x - 5$ — это парабола с ветвями вверх, поэтому она принимает отрицательные значения между корнями.

Таким образом, $S_2 = (-1, 5)$.

Теперь рассмотрим условие $S_1 \subseteq S_2$ для двух случаев, найденных ранее.

1. Если $a < \frac{3}{4}$, то $S_1 = \emptyset$. Пустое множество является подмножеством любого множества, следовательно, условие $S_1 \subseteq S_2$ выполняется для всех $a$ из этого промежутка.

2. Если $a \ge \frac{3}{4}$, то $S_1 = [a + 3, 9a - 3]$. Условие $S_1 \subseteq S_2$ означает, что отрезок $[a + 3, 9a - 3]$ должен полностью лежать внутри интервала $(-1, 5)$. Это эквивалентно системе неравенств:

$\begin{cases} a + 3 > -1 \\ 9a - 3 < 5 \end{cases}$

Решим эту систему:

$a > -1 - 3 \implies a > -4$

$9a < 5 + 3 \implies 9a < 8 \implies a < \frac{8}{9}$

Мы должны также учесть условие $a \ge \frac{3}{4}$ для данного случая. Объединим все условия:

$\begin{cases} a \ge \frac{3}{4} \\ a > -4 \\ a < \frac{8}{9} \end{cases}$

Решением системы является промежуток $\frac{3}{4} \le a < \frac{8}{9}$.

Объединяя результаты для $a$ из обоих случаев, получаем, что условие задачи выполняется при $a < \frac{3}{4}$ или при $\frac{3}{4} \le a < \frac{8}{9}$. В совокупности это дает $a < \frac{8}{9}$.

Ответ: $a \in (-\infty, \frac{8}{9})$.