Номер 1584, страница 428 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Задачи для внеклассной работы - номер 1584, страница 428.

Условие.

1584 Доказать, что при $-1 \le x \le 1$ сумма $arcsin x + arccos x$ равна $C$, где $C$ — постоянная. Найти $C$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

Для доказательства тождества $\arcsin x + \arccos x = C$ и нахождения константы $C$ на отрезке $[-1, 1]$, воспользуемся определениями обратных тригонометрических функций.

Пусть $\alpha = \arcsin x$. По определению функции арксинус, это означает, что выполняются два условия:

1. $\sin \alpha = x$
2. $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$

Рассмотрим тригонометрическое тождество (формулу приведения): $\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin \alpha$.

Подставив в него $\sin \alpha = x$, мы получим: $\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = x$.

Теперь нам нужно выяснить, в каком диапазоне находится угол $\frac{\pi}{2} - \alpha$. Используем неравенство $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$:

Умножим все части неравенства на $-1$ (при этом знаки неравенства изменятся на противоположные):

$\frac{\pi}{2} \ge -\alpha \ge -\frac{\pi}{2}$, что эквивалентно $-\frac{\pi}{2} \le -\alpha \le \frac{\pi}{2}$.

Прибавим $\frac{\pi}{2}$ ко всем частям неравенства:

$\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{2} - \alpha \le \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}$

$0 \le \frac{\pi}{2} - \alpha \le \pi$

Итак, мы получили, что для угла $\beta = \frac{\pi}{2} - \alpha$ выполняются два условия:

1. $\cos \beta = x$
2. $0 \le \beta \le \pi$

Эти два условия в точности соответствуют определению функции арккосинус. Следовательно, $\beta = \arccos x$, или $\frac{\pi}{2} - \alpha = \arccos x$.

Теперь вернемся к замене $\alpha = \arcsin x$:

$\frac{\pi}{2} - \arcsin x = \arccos x$

Перенеся $\arcsin x$ в правую часть, получаем искомое тождество:

$\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$

Это равенство доказывает, что сумма $\arcsin x + \arccos x$ является постоянной величиной (константой) для всех $x$ из области определения $[-1, 1]$, и эта константа $C$ равна $\frac{\pi}{2}$.

Ответ: Доказано, что сумма является константой. $C = \frac{\pi}{2}$.