Номер 1589, страница 428 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Задачи для внеклассной работы - номер 1589, страница 428.

Условие.

1589 Сигнал с корабля можно различить в море на расстоянии $1 \text{ мили}$. Корабль A идёт на юг, делая $3 \text{ мили/час}$, и в настоящее время находится в $5 \text{ милях}$ к западу от корабля B, который идёт на запад со скоростью $4 \text{ мили/час}$. Будут ли корабли на расстоянии, достаточном для приёма сигнала?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения задачи введём систему координат. Пусть в начальный момент времени ($t=0$) корабль B находится в начале координат, в точке $B_0(0, 0)$. Поскольку корабль A находится в 5 милях к западу от корабля B, его начальное положение будет в точке $A_0(-5, 0)$.

Ось OY направим на север, а ось OX – на восток. Тогда движение на юг соответствует изменению координаты $y$ в отрицательную сторону, а движение на запад – изменению координаты $x$ в отрицательную сторону.

Корабль A идёт на юг со скоростью 3 мили в час. Его скорость можно представить вектором $\vec{v}_A = (0, -3)$. Координаты корабля A в момент времени $t$ будут:

$x_A(t) = -5 + 0 \cdot t = -5$

$y_A(t) = 0 - 3 \cdot t = -3t$

Таким образом, положение корабля A в момент времени $t$ описывается точкой $A(t) = (-5, -3t)$.

Корабль B идёт на запад со скоростью 4 мили в час. Его скорость можно представить вектором $\vec{v}_B = (-4, 0)$. Координаты корабля B в момент времени $t$ будут:

$x_B(t) = 0 - 4 \cdot t = -4t$

$y_B(t) = 0 + 0 \cdot t = 0$

Таким образом, положение корабля B в момент времени $t$ описывается точкой $B(t) = (-4t, 0)$.

Теперь найдём квадрат расстояния $d^2$ между кораблями как функцию времени $t$, используя формулу расстояния между двумя точками:

$d(t)^2 = (x_A(t) - x_B(t))^2 + (y_A(t) - y_B(t))^2$

$d(t)^2 = (-5 - (-4t))^2 + (-3t - 0)^2$

$d(t)^2 = (4t - 5)^2 + (-3t)^2$

$d(t)^2 = 16t^2 - 40t + 25 + 9t^2$

$d(t)^2 = 25t^2 - 40t + 25$

Чтобы найти, смогут ли корабли обменяться сигналами, нужно найти минимальное расстояние между ними и сравнить его с дальностью сигнала в 1 милю. Минимальное расстояние будет в тот момент времени $t$, когда функция $d(t)^2$ принимает минимальное значение. Функция $f(t) = 25t^2 - 40t + 25$ является параболой с ветвями вверх, её минимум находится в вершине.

Найдём время $t$, в которое достигается минимум, по формуле для вершины параболы $t = -b / (2a)$:

$t = -(-40) / (2 \cdot 25) = 40 / 50 = 0.8$ часа.

Теперь вычислим минимальный квадрат расстояния, подставив найденное значение $t = 0.8$ в нашу функцию:

$d_{min}^2 = 25(0.8)^2 - 40(0.8) + 25$

$d_{min}^2 = 25(0.64) - 32 + 25$

$d_{min}^2 = 16 - 32 + 25 = 9$

Следовательно, минимальное расстояние $d_{min}$ между кораблями равно:

$d_{min} = \sqrt{9} = 3$ мили.

Сигнал с корабля можно различить на расстоянии 1 мили. Поскольку минимальное расстояние между кораблями составляет 3 мили, что больше, чем 1 миля ($3 > 1$), корабли не смогут оказаться на расстоянии, достаточном для приёма сигнала.

Ответ: Нет, корабли не будут на расстоянии, достаточном для приёма сигнала, так как минимальное расстояние между ними составит 3 мили, что больше дальности приёма сигнала в 1 милю.