Номер 1590, страница 428 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Задачи для внеклассной работы - номер 1590, страница 428.

Условие.

1590 Графику функции $y = -x^3 + ax^2 + bx + c$ принадлежат точки $A$ и $B$, симметричные относительно прямой $x = 2$. Касательные к этому графику в точках $A$ и $B$ параллельны между собой. Одна из этих касательных проходит через точку $(0; 2)$, а другая — через точку $(0; 6)$. Найти значения $a, b, c$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

Дана функция $y = f(x) = -x^3 + ax^2 + bx + c$. На её графике лежат точки A и B.

Шаг 1: Анализ условий симметрии и параллельности касательных.
Точки $A(x_A, y_A)$ и $B(x_B, y_B)$ симметричны относительно прямой $x=2$. Это означает, что середина отрезка AB лежит на этой прямой, то есть $\frac{x_A + x_B}{2} = 2$, откуда получаем $x_A + x_B = 4$. Стандартная интерпретация симметрии точек относительно вертикальной прямой также предполагает, что их ординаты равны: $y_A = y_B$.
Касательные в точках A и B параллельны, это значит, что их угловые коэффициенты равны. Угловой коэффициент касательной в точке $x_0$ равен значению производной $f'(x_0)$.
Найдем производную функции: $f'(x) = -3x^2 + 2ax + b$.
Условие параллельности касательных: $f'(x_A) = f'(x_B)$.
$-3x_A^2 + 2ax_A + b = -3x_B^2 + 2ax_B + b$
$3(x_B^2 - x_A^2) - 2a(x_B - x_A) = 0$
Поскольку точки A и B различны, $x_A \neq x_B$, мы можем разделить обе части на $(x_B - x_A)$:
$3(x_B + x_A) - 2a = 0$
Мы уже знаем, что $x_A + x_B = 4$. Подставим это значение:
$3(4) - 2a = 0$
$12 - 2a = 0$
$a = 6$.
Итак, мы нашли первый коэффициент: $a=6$.

Шаг 2: Нахождение абсцисс точек касания.
Уравнение касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
Эта касательная пересекает ось OY (где $x=0$) в точке, ордината которой равна $y_{int} = f(x_0) - x_0 f'(x_0)$.
По условию, касательные проходят через точки $(0; 2)$ и $(0; 6)$. Это означает, что ординаты пересечения с осью OY для касательных в точках A и B равны 2 и 6.
$y_{int}(x) = f(x) - x \cdot f'(x) = (-x^3 + ax^2 + bx + c) - x(-3x^2 + 2ax + b)$
$y_{int}(x) = -x^3 + ax^2 + bx + c + 3x^3 - 2ax^2 - bx = 2x^3 - ax^2 + c$.
Обратите внимание, что ордината точки пересечения не зависит от коэффициента $b$.
Подставим найденное значение $a=6$: $y_{int}(x) = 2x^3 - 6x^2 + c$.
Мы имеем систему уравнений для $x_A$ и $x_B$:
$\begin{cases} 2x_A^3 - 6x_A^2 + c = 2 \\ 2x_B^3 - 6x_B^2 + c = 6 \end{cases}$ (или наоборот, что не повлияет на результат).
Вычтем из второго уравнения первое:
$(2x_B^3 - 6x_B^2 + c) - (2x_A^3 - 6x_A^2 + c) = 6 - 2$
$2(x_B^3 - x_A^3) - 6(x_B^2 - x_A^2) = 4$
$2(x_B - x_A)(x_B^2 + x_A x_B + x_A^2) - 6(x_B - x_A)(x_B + x_A) = 4$
Разделим на 2: $(x_B - x_A)(x_B^2 + x_A x_B + x_A^2) - 3(x_B - x_A)(x_B + x_A) = 2$.
Воспользуемся удобной заменой. Так как $x_A$ и $x_B$ симметричны относительно 2, можно записать $x_A = 2 - t$ и $x_B = 2 + t$ для некоторого $t>0$. Тогда $x_B+x_A=4$ и $x_B-x_A=2t$.
Также $x_A x_B = (2-t)(2+t) = 4-t^2$ и $x_A^2+x_B^2 = (x_A+x_B)^2-2x_Ax_B = 4^2 - 2(4-t^2) = 16-8+2t^2=8+2t^2$.
Подставим в упрощенное уравнение:
$2t((8+2t^2) + (4-t^2)) - 3(2t)(4) = 2$
$2t(12+t^2) - 24t = 2$
$24t + 2t^3 - 24t = 2$
$2t^3 = 2 \implies t^3=1 \implies t=1$.
Таким образом, абсциссы точек касания: $x_A = 2 - 1 = 1$ и $x_B = 2 + 1 = 3$.

Шаг 3: Нахождение коэффициента c.
Теперь мы можем использовать одно из уравнений для ординаты пересечения, например, для точки $x_A=1$:
$2x_A^3 - 6x_A^2 + c = 2$
$2(1)^3 - 6(1)^2 + c = 2$
$2 - 6 + c = 2$
$-4 + c = 2$
$c = 6$.
Проверим для $x_B=3$: $2(3)^3 - 6(3)^2 + 6 = 2(27) - 6(9) + 6 = 54 - 54 + 6 = 6$. Всё верно.

Шаг 4: Нахождение коэффициента b.
Для нахождения $b$ воспользуемся условием симметрии точек, которое мы упомянули в шаге 1: $y_A = y_B$, то есть $f(x_A) = f(x_B)$.
Функция имеет вид: $f(x) = -x^3 + 6x^2 + bx + 6$.
$f(1) = -1^3 + 6(1)^2 + b(1) + 6 = -1 + 6 + b + 6 = 11 + b$.
$f(3) = -3^3 + 6(3)^2 + b(3) + 6 = -27 + 54 + 3b + 6 = 33 + 3b$.
Приравниваем $f(1)$ и $f(3)$:
$11 + b = 33 + 3b$
$2b = 11 - 33$
$2b = -22$
$b = -11$.

Ответ: $a = 6, b = -11, c = 6$.