Номер 1591, страница 428 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Задачи для внеклассной работы - номер 1591, страница 428.

Условие.

1591 Графику функции $y = x^3 + ax^2 + bx + c$ принадлежат точки A и B, симметричные относительно прямой $x = -2$. Касательные к этому графику в точках A и B параллельны между собой. Одна из этих касательных проходит через точку $(0; 1)$, а другая — через точку $(0; 5)$. Найти значения $a, b, c$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть точки A и B имеют координаты $A(x_A, y_A)$ и $B(x_B, y_B)$.

1. Нахождение коэффициента a

По условию, точки A и B симметричны относительно прямой $x = -2$. Это означает, что полусумма их абсцисс равна -2, а их ординаты равны:

$\frac{x_A + x_B}{2} = -2 \implies x_A + x_B = -4$

$y_A = y_B$

Касательные к графику функции $y(x) = x³ + ax² + bx + c$ в точках A и B параллельны. Это значит, что их угловые коэффициенты, которые равны значению производной в этих точках, одинаковы.

Найдем производную функции:

$y'(x) = 3x² + 2ax + b$

Условие параллельности касательных: $y'(x_A) = y'(x_B)$.

$3x_A² + 2ax_A + b = 3x_B² + 2ax_B + b$

$3x_A² - 3x_B² + 2ax_A - 2ax_B = 0$

$3(x_A - x_B)(x_A + x_B) + 2a(x_A - x_B) = 0$

Так как A и B — разные точки, $x_A \neq x_B$, поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $(x_A - x_B)$:

$3(x_A + x_B) + 2a = 0$

Мы уже знаем, что $x_A + x_B = -4$. Подставим это значение в уравнение:

$3(-4) + 2a = 0$

$-12 + 2a = 0$

$2a = 12 \implies a = 6$

2. Определение абсцисс точек касания A и B

Чтобы найти абсциссы $x_A$ и $x_B$, введем параметр $d$. Так как точки симметричны относительно $x=-2$, их абсциссы можно представить в виде:

$x_A = -2 - d$

$x_B = -2 + d$, где $d \neq 0$.

Угловой коэффициент касательных $k$ равен $y'(x_A)$ (или $y'(x_B)$). Подставим $a=6$ и $x_A = -2 - d$ в выражение для производной:

$k = y'(-2 - d) = 3(-2 - d)² + 2(6)(-2 - d) + b = 3(4 + 4d + d²) + 12(-2 - d) + b$

$k = 12 + 12d + 3d² - 24 - 12d + b = 3d² + b - 12$

Уравнение касательной в общем виде: $y - y_0 = k(x - x_0)$.

Касательная в точке A проходит через одну из точек $(0; 1)$ или $(0; 5)$, а касательная в точке B — через другую. Пусть касательная в A проходит через $(0; 5)$, а в B — через $(0; 1)$.

Для касательной в точке A$(x_A, y_A)$: $y - y_A = k(x - x_A)$. Подставляем точку $(0; 5)$:

$5 - y_A = k(0 - x_A) = -kx_A$

$y_A = 5 + kx_A = 5 + (3d² + b - 12)(-2 - d)$

Для касательной в точке B$(x_B, y_B)$: $y - y_B = k(x - x_B)$. Подставляем точку $(0; 1)$:

$1 - y_B = k(0 - x_B) = -kx_B$

$y_B = 1 + kx_B = 1 + (3d² + b - 12)(-2 + d)$

Используем условие $y_A = y_B$:

$5 + (3d² + b - 12)(-2 - d) = 1 + (3d² + b - 12)(-2 + d)$

$4 = (3d² + b - 12)(-2 + d) - (3d² + b - 12)(-2 - d)$

$4 = (3d² + b - 12)[(-2 + d) - (-2 - d)]$

$4 = (3d² + b - 12)(2d)$

Теперь воспользуемся условием $y_A = y_B$ для самой функции $y(x) = x³ + 6x² + bx + c$:

$y(x_A) - y(x_B) = 0$

$(x_A³ - x_B³) + 6(x_A² - x_B²) + b(x_A - x_B) = 0$

Разделив на $(x_A - x_B)$, получим:

$(x_A² + x_A x_B + x_B²) + 6(x_A + x_B) + b = 0$

Подставим $x_A = -2 - d$ и $x_B = -2 + d$:

$x_A + x_B = -4$

$x_A x_B = (-2 - d)(-2 + d) = 4 - d²$

$x_A² + x_B² = (x_A + x_B)² - 2x_A x_B = (-4)² - 2(4 - d²) = 16 - 8 + 2d² = 8 + 2d²$

Подставляем эти выражения в уравнение:

$(8 + 2d²) + (4 - d²) + 6(-4) + b = 0$

$12 + d² - 24 + b = 0 \implies b = 12 - d²$

Теперь подставим это выражение для $b$ в уравнение, полученное из условий касательных: $4 = (3d² + b - 12)(2d)$.

$4 = (3d² + (12 - d²) - 12)(2d)$

$4 = (2d²)(2d)$

$4 = 4d³ \implies d³ = 1 \implies d = 1$

Теперь мы можем найти абсциссы точек A и B:

$x_A = -2 - 1 = -3$

$x_B = -2 + 1 = -1$

3. Нахождение коэффициентов b и c

Зная $d=1$, найдем коэффициент $b$:

$b = 12 - d² = 12 - 1² = 11$

Теперь найдем коэффициент $c$. Для этого нужно найти ординату одной из точек (A или B) и подставить ее в уравнение функции. Найдем угловой коэффициент касательных $k$:

$k = 3d² + b - 12 = 3(1)² + 11 - 12 = 2$

Теперь найдем $y_A$ из уравнения касательной в точке A, проходящей через $(0; 5)$:

$y_A = 5 + kx_A = 5 + 2(-3) = 5 - 6 = -1$

Итак, точка A имеет координаты $(-3; -1)$. Эта точка принадлежит графику функции $y = x³ + 6x² + 11x + c$. Подставим ее координаты в уравнение:

$-1 = (-3)³ + 6(-3)² + 11(-3) + c$

$-1 = -27 + 6(9) - 33 + c$

$-1 = -27 + 54 - 33 + c$

$-1 = 27 - 33 + c$

$-1 = -6 + c \implies c = 5$

Таким образом, мы нашли все коэффициенты.

Ответ: $a = 6, b = 11, c = 5$.