Номер 1592, страница 429 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Задачи для внеклассной работы - номер 1592, страница 429.

1592 Найти площадь фигуры, ограниченной параболой $y = 0.5x^2 - 2x + 2$ и касательными к ней, проведёнными через точки A $(1; \frac{1}{2})$ и B $(4; 2)$.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной параболой и касательными к ней, необходимо выполнить следующие шаги: найти уравнения касательных, определить точку их пересечения и вычислить площадь с помощью определенного интеграла.

1. Нахождение уравнений касательных

Дана парабола $y = 0.5x^2 - 2x + 2$. Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Сначала найдем производную функции:

$f'(x) = (0.5x^2 - 2x + 2)' = 2 \cdot 0.5x - 2 = x - 2$.

Касательная в точке A(1; 1/2):

Абсцисса точки касания $x_0 = 1$. Проверим, что точка A лежит на параболе: $y(1) = 0.5(1)^2 - 2(1) + 2 = 0.5 - 2 + 2 = 0.5 = \frac{1}{2}$. Точка A принадлежит параболе.

Найдем угловой коэффициент касательной в этой точке: $k_A = f'(1) = 1 - 2 = -1$.

Уравнение касательной в точке A:

$y - \frac{1}{2} = -1(x - 1)$

$y = -x + 1 + \frac{1}{2}$

$y_1 = -x + \frac{3}{2}$

Касательная в точке B(4; 2):

Абсцисса точки касания $x_0 = 4$. Проверим, что точка B лежит на параболе: $y(4) = 0.5(4)^2 - 2(4) + 2 = 0.5 \cdot 16 - 8 + 2 = 8 - 8 + 2 = 2$. Точка B принадлежит параболе.

Найдем угловой коэффициент касательной в этой точке: $k_B = f'(4) = 4 - 2 = 2$.

Уравнение касательной в точке B:

$y - 2 = 2(x - 4)$

$y = 2x - 8 + 2$

$y_2 = 2x - 6$

2. Нахождение точки пересечения касательных

Чтобы найти точку пересечения касательных, приравняем их уравнения:

$-x + \frac{3}{2} = 2x - 6$

$3x = \frac{3}{2} + 6$

$3x = \frac{3+12}{2} = \frac{15}{2}$

$x = \frac{15}{2 \cdot 3} = \frac{5}{2} = 2.5$

Найдем ординату точки пересечения, подставив $x=2.5$ в уравнение одной из касательных:

$y = 2(2.5) - 6 = 5 - 6 = -1$.

Таким образом, касательные пересекаются в точке C(2.5; -1).

3. Вычисление площади фигуры

Искомая площадь $S$ представляет собой область, заключенную "сверху" параболой $y = 0.5x^2 - 2x + 2$ и "снизу" двумя касательными. Абсцисса точки пересечения касательных $x=2.5$ разбивает эту область на две части. Площадь вычисляется как разность интегралов от функции параболы и функций касательных.

Площадь можно найти по формуле:

$S = \int_{a}^{c} (f(x) - y_1(x)) dx + \int_{c}^{b} (f(x) - y_2(x)) dx$

где $a=1$, $b=4$ — абсциссы точек касания, а $c=2.5$ — абсцисса точки пересечения касательных.

$S = \int_{1}^{2.5} \left( (0.5x^2 - 2x + 2) - (-x + \frac{3}{2}) \right) dx + \int_{2.5}^{4} \left( (0.5x^2 - 2x + 2) - (2x - 6) \right) dx$

Упростим подынтегральные выражения:

Для первого интеграла: $0.5x^2 - 2x + 2 + x - 1.5 = 0.5x^2 - x + 0.5 = 0.5(x^2 - 2x + 1) = 0.5(x-1)^2$.

Для второго интеграла: $0.5x^2 - 2x + 2 - 2x + 6 = 0.5x^2 - 4x + 8 = 0.5(x^2 - 8x + 16) = 0.5(x-4)^2$.

Теперь вычислим интегралы:

$S_1 = \int_{1}^{2.5} 0.5(x-1)^2 dx = 0.5 \left[ \frac{(x-1)^3}{3} \right]_{1}^{2.5} = \frac{1}{6} \left( (2.5-1)^3 - (1-1)^3 \right) = \frac{1}{6} (1.5)^3 = \frac{1}{6} \left(\frac{3}{2}\right)^3 = \frac{1}{6} \cdot \frac{27}{8} = \frac{9}{16}$.

$S_2 = \int_{2.5}^{4} 0.5(x-4)^2 dx = 0.5 \left[ \frac{(x-4)^3}{3} \right]_{2.5}^{4} = \frac{1}{6} \left( (4-4)^3 - (2.5-4)^3 \right) = \frac{1}{6} \left( 0 - (-1.5)^3 \right) = \frac{1}{6} (1.5)^3 = \frac{1}{6} \cdot \frac{27}{8} = \frac{9}{16}$.

Полная площадь равна сумме площадей двух частей:

$S = S_1 + S_2 = \frac{9}{16} + \frac{9}{16} = \frac{18}{16} = \frac{9}{8}$.

Ответ: $\frac{9}{8}$