Номер 1588, страница 428 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Задачи для внеклассной работы - номер 1588, страница 428.

Условие.

1588 Через точку A (3; -4) проведена касательная l к гиперболе $y = -\frac{12}{x}$. Найти радиус окружности с центром на оси ординат, касающейся прямой l и оси абсцисс.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

Для начала найдем уравнение касательной l к гиперболе $y = -\frac{12}{x}$ в точке $A(3; -4)$.

1. Проверка принадлежности точки гиперболе. Подставим координаты точки $A(3; -4)$ в уравнение гиперболы: $y(3) = -\frac{12}{3} = -4$. Поскольку равенство выполняется, точка $A$ действительно лежит на гиперболе и является точкой касания.

2. Нахождение уравнения касательной. Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $(x_0, y_0)$ имеет вид: $y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$. В нашем случае, $f(x) = -\frac{12}{x} = -12x^{-1}$ и точка касания $(x_0, y_0) = (3, -4)$.

Найдем производную функции $f(x)$: $f'(x) = (-12x^{-1})' = -12 \cdot (-1) \cdot x^{-2} = \frac{12}{x^2}$.

Теперь вычислим значение производной в точке касания $x_0 = 3$, чтобы найти угловой коэффициент касательной $k$: $k = f'(3) = \frac{12}{3^2} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$.

Подставим все известные значения в уравнение касательной: $y - (-4) = \frac{4}{3}(x - 3)$ $y + 4 = \frac{4}{3}x - 4$ $y = \frac{4}{3}x - 8$.

Приведем уравнение к общему виду $Ax + By + C = 0$: $3y = 4x - 24$ $4x - 3y - 24 = 0$. Это и есть уравнение касательной l.

3. Нахождение радиуса окружности. По условию, центр окружности находится на оси ординат (оси OY). Координаты центра можно записать как $C(0, b)$.

Окружность касается оси абсцисс (оси OX), уравнение которой $y=0$. Расстояние от центра $C(0, b)$ до оси абсцисс равно радиусу окружности $R$. Это расстояние равно модулю ординаты центра, то есть $R = |b|$.

Окружность также касается прямой l, заданной уравнением $4x - 3y - 24 = 0$. Расстояние от центра окружности $C(0, b)$ до этой прямой также должно быть равно радиусу $R$. Используем формулу расстояния от точки $(x_1, y_1)$ до прямой $Ax + By + C = 0$: $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$.

В нашем случае $(x_1, y_1) = (0, b)$, а уравнение прямой $4x - 3y - 24 = 0$. $R = \frac{|4 \cdot 0 - 3 \cdot b - 24|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{|-3b - 24|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{|-(3b + 24)|}{\sqrt{25}} = \frac{|3b + 24|}{5}$.

Теперь у нас есть два выражения для радиуса, которые мы можем приравнять: $R = |b|$ и $R = \frac{|3b + 24|}{5}$. $|b| = \frac{|3b + 24|}{5}$ $5|b| = |3b + 24|$.

Это уравнение с модулями распадается на два случая:

Случай 1: $5b = 3b + 24$ $2b = 24$ $b = 12$.

Случай 2: $5b = -(3b + 24)$ $5b = -3b - 24$ $8b = -24$ $b = -3$.

Мы нашли два возможных значения для ординаты центра окружности. Теперь найдем соответствующие радиусы, используя формулу $R = |b|$.

Если $b = 12$, то радиус $R = |12| = 12$.

Если $b = -3$, то радиус $R = |-3| = 3$.

Оба значения являются решением задачи, так как существуют две окружности, удовлетворяющие заданным условиям.

Ответ: 3 или 12.