Номер 1585, страница 428 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Задачи для внеклассной работы - номер 1585, страница 428.

Условие.

1585 Найти все значения $b$, при каждом из которых функция $f(x) = \sin 2x - 8 (b + 2) \cos x - (4b^2 + 16b + 6) x$ является убывающей на всей числовой прямой и при этом не имеет стационарных точек.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

Для того чтобы функция $f(x)$ была убывающей на всей числовой прямой, ее производная $f'(x)$ должна быть неположительной для всех $x \in \mathbb{R}$, то есть $f'(x) \le 0$.

Условие отсутствия стационарных точек означает, что производная никогда не обращается в ноль, то есть $f'(x) \ne 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Объединяя эти два условия, мы приходим к выводу, что производная функции должна быть строго отрицательной на всей числовой прямой: $f'(x) < 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

1. Найдем производную функции.
Дана функция $f(x) = \sin 2x - 8(b + 2)\cos x - (4b^2 + 16b + 6)x$.
Ее производная равна:
$f'(x) = (\sin 2x)' - (8(b + 2)\cos x)' - ((4b^2 + 16b + 6)x)'$
$f'(x) = 2\cos 2x - 8(b + 2)(-\sin x) - (4b^2 + 16b + 6)$
$f'(x) = 2\cos 2x + 8(b + 2)\sin x - 4b^2 - 16b - 6$

2. Преобразуем выражение для производной.
Используем формулу двойного угла $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$, чтобы привести выражение к квадратному трехчлену относительно $\sin x$:
$f'(x) = 2(1 - 2\sin^2 x) + 8(b + 2)\sin x - 4b^2 - 16b - 6$
$f'(x) = 2 - 4\sin^2 x + 8(b + 2)\sin x - 4b^2 - 16b - 6$
$f'(x) = -4\sin^2 x + 8(b + 2)\sin x - 4b^2 - 16b - 4$
Вынесем за скобки множитель $-4$:
$f'(x) = -4(\sin^2 x - 2(b + 2)\sin x + b^2 + 4b + 1)$

3. Решим неравенство $f'(x) < 0$.
$-4(\sin^2 x - 2(b + 2)\sin x + b^2 + 4b + 1) < 0$
Разделим обе части на $-4$, изменив знак неравенства на противоположный:
$\sin^2 x - 2(b + 2)\sin x + b^2 + 4b + 1 > 0$

4. Проведем замену переменной и проанализируем неравенство.
Пусть $t = \sin x$. Поскольку область значений синуса есть отрезок $[-1, 1]$, то $t \in [-1, 1]$.
Неравенство принимает вид:
$g(t) = t^2 - 2(b + 2)t + b^2 + 4b + 1 > 0$
Это неравенство должно выполняться для всех значений $t$ из отрезка $[-1, 1]$.

Функция $g(t)$ является квадратичной параболой с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $t^2$ равен 1, что больше нуля). Чтобы неравенство $g(t) > 0$ выполнялось для всех $t \in [-1, 1]$, необходимо, чтобы минимальное значение функции $g(t)$ на этом отрезке было строго больше нуля.

Найдем абсциссу вершины параболы $t_v$:
$t_v = -\frac{-2(b + 2)}{2 \cdot 1} = b + 2$

Рассмотрим три случая расположения вершины параболы относительно отрезка $[-1, 1]$.

Случай 1: Вершина левее отрезка $[-1, 1]$.
$t_v < -1 \implies b + 2 < -1 \implies b < -3$.
В этом случае функция $g(t)$ возрастает на отрезке $[-1, 1]$, и ее наименьшее значение достигается в точке $t = -1$.
Следовательно, должно выполняться условие $g(-1) > 0$.
$g(-1) = (-1)^2 - 2(b + 2)(-1) + b^2 + 4b + 1 = 1 + 2(b + 2) + b^2 + 4b + 1 = 1 + 2b + 4 + b^2 + 4b + 1 = b^2 + 6b + 6$.
Решим неравенство $b^2 + 6b + 6 > 0$.
Найдем корни уравнения $b^2 + 6b + 6 = 0$: $D = 36 - 24 = 12$, $b = \frac{-6 \pm \sqrt{12}}{2} = -3 \pm \sqrt{3}$.
Решением неравенства является $b \in (-\infty, -3 - \sqrt{3}) \cup (-3 + \sqrt{3}, +\infty)$.
Учитывая условие $b < -3$, получаем решение для первого случая: $b < -3 - \sqrt{3}$.

Случай 2: Вершина внутри отрезка $[-1, 1]$.
$-1 \le t_v \le 1 \implies -1 \le b + 2 \le 1 \implies -3 \le b \le -1$.
В этом случае наименьшее значение функции $g(t)$ достигается в вершине $t_v = b + 2$.
Следовательно, должно выполняться условие $g(t_v) > 0$.
$g(b+2) = (b+2)^2 - 2(b+2)(b+2) + b^2 + 4b + 1 = -(b+2)^2 + b^2 + 4b + 1 = -(b^2 + 4b + 4) + b^2 + 4b + 1 = -3$.
Неравенство $-3 > 0$ является ложным, следовательно, в этом случае решений нет.

Случай 3: Вершина правее отрезка $[-1, 1]$.
$t_v > 1 \implies b + 2 > 1 \implies b > -1$.
В этом случае функция $g(t)$ убывает на отрезке $[-1, 1]$, и ее наименьшее значение достигается в точке $t = 1$.
Следовательно, должно выполняться условие $g(1) > 0$.
$g(1) = 1^2 - 2(b + 2)(1) + b^2 + 4b + 1 = 1 - 2b - 4 + b^2 + 4b + 1 = b^2 + 2b - 2$.
Решим неравенство $b^2 + 2b - 2 > 0$.
Найдем корни уравнения $b^2 + 2b - 2 = 0$: $D = 4 - 4(-2) = 12$, $b = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}$.
Решением неравенства является $b \in (-\infty, -1 - \sqrt{3}) \cup (-1 + \sqrt{3}, +\infty)$.
Учитывая условие $b > -1$, получаем решение для третьего случая: $b > -1 + \sqrt{3}$.

5. Объединение результатов.
Объединяя решения, полученные в трех случаях, находим все значения параметра $b$:
$b < -3 - \sqrt{3}$ или $b > -1 + \sqrt{3}$.
Ответ: $b \in (-\infty; -3 - \sqrt{3}) \cup (-1 + \sqrt{3}; +\infty)$.