Номер 1582, страница 428 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Задачи для внеклассной работы - номер 1582, страница 428.

Условие.

1582 Доказать тождество $\log_b a \cdot \log_c b \cdot \log_d c = \log_d a$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

Для доказательства данного тождества необходимо показать, что его левая часть равна правой. Мы преобразуем левую часть, используя свойства логарифмов.

Основным свойством, которое мы применим, является формула перехода к новому основанию логарифма: $log_x y = \frac{log_k y}{log_k x}$, где $k$ — любое допустимое основание (то есть $k > 0$ и $k \neq 1$).

Рассмотрим левую часть исходного тождества: $log_b a \cdot log_c b \cdot log_d c$.

Применим формулу перехода к новому основанию для каждого из трех логарифмов. В качестве нового основания $k$ выберем любое подходящее число; это не повлияет на результат. Запишем преобразование:

$log_b a \cdot log_c b \cdot log_d c = \frac{log_k a}{log_k b} \cdot \frac{log_k b}{log_k c} \cdot \frac{log_k c}{log_k d}$

В полученном произведении дробей можно сократить одинаковые множители в числителях и знаменателях:

$\frac{log_k a}{\cancel{log_k b}} \cdot \frac{\cancel{log_k b}}{\cancel{log_k c}} \cdot \frac{\cancel{log_k c}}{log_k d} = \frac{log_k a}{log_k d}$

Теперь к полученному выражению $\frac{log_k a}{log_k d}$ применим формулу перехода к новому основанию в обратном порядке:

$\frac{log_k a}{log_k d} = log_d a$

Результат преобразования левой части тождества ($log_d a$) в точности совпадает с его правой частью. Следовательно, равенство $log_b a \cdot log_c b \cdot log_d c = log_d a$ является тождеством. Что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано путем последовательного применения формулы перехода к новому основанию, что позволяет преобразовать левую часть равенства к виду правой части.