Номер 1577, страница 427 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Задачи для внеклассной работы - номер 1577, страница 427.

Условие.

1577 1) $\sqrt{2x-7} \le \sqrt{6x+13};$

2) $\sqrt{3-x} < \sqrt{3x-5}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\sqrt{2x-7} \le \sqrt{6x+13}$

Неравенство вида $\sqrt{f(x)} \le \sqrt{g(x)}$ равносильно системе, которая гарантирует, что подкоренное выражение в левой части неотрицательно, и что неравенство сохраняется при возведении в квадрат. Условие неотрицательности для правой части ($g(x) \ge 0$) выполняется автоматически, так как $g(x) \ge f(x)$ и $f(x) \ge 0$.

Таким образом, исходное неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} 2x - 7 \ge 0 \\ 2x - 7 \le 6x + 13 \end{cases}$

Решим первое неравенство системы:

$2x \ge 7$

$x \ge \frac{7}{2}$

$x \ge 3.5$

Решим второе неравенство системы:

$-7 - 13 \le 6x - 2x$

$-20 \le 4x$

$-5 \le x$ или $x \ge -5$

Решением системы является пересечение полученных множеств решений: $x \ge 3.5$ и $x \ge -5$. Чтобы удовлетворить обоим условиям одновременно, необходимо выбрать более строгое из них.

Следовательно, решением является $x \ge 3.5$.

Ответ: $[3.5; +\infty)$.

2) $\sqrt{3-x} < \sqrt{3x-5}$

Данное строгое иррациональное неравенство вида $\sqrt{f(x)} < \sqrt{g(x)}$ решается аналогично и равносильно следующей системе:

$\begin{cases} 3 - x \ge 0 \\ 3 - x < 3x - 5 \end{cases}$

Решим первое неравенство системы, чтобы найти область допустимых значений для $x$:

$3 \ge x$

$x \le 3$

Решим второе неравенство, полученное возведением в квадрат обеих частей исходного неравенства:

$3 + 5 < 3x + x$

$8 < 4x$

$2 < x$ или $x > 2$

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $x \le 3$ и $x > 2$.

Объединяя эти два условия, получаем двойное неравенство $2 < x \le 3$.

Ответ: $(2; 3]$.