Номер 1576, страница 427 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Задачи для внеклассной работы - номер 1576, страница 427.

Условие.

1576 $\frac{x^3 + x^2 - 4x - 4}{x^3 + 6x^2 + 5x - 12} > 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения данного неравенства $\frac{x^3 + x^2 - 4x - 4}{x^3 + 6x^2 + 5x - 12} > 0$ необходимо разложить на множители числитель и знаменатель дроби.

Сначала разложим на множители числитель $P(x) = x^3 + x^2 - 4x - 4$. Применим метод группировки:

$x^3 + x^2 - 4x - 4 = (x^3 + x^2) - (4x + 4) = x^2(x + 1) - 4(x + 1) = (x + 1)(x^2 - 4)$.

Используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, получаем:

$(x + 1)(x^2 - 4) = (x + 1)(x - 2)(x + 2)$.

Таким образом, корни числителя: $x_1 = -2$, $x_2 = -1$, $x_3 = 2$.

Теперь разложим на множители знаменатель $Q(x) = x^3 + 6x^2 + 5x - 12$. Попробуем найти целые корни среди делителей свободного члена (-12): $\pm1, \pm2, \pm3, \pm4, \pm6, \pm12$.

Проверим $x = 1$:

$Q(1) = 1^3 + 6(1)^2 + 5(1) - 12 = 1 + 6 + 5 - 12 = 0$.

Значит, $x = 1$ является корнем, и многочлен $Q(x)$ делится на $(x - 1)$ без остатка. Выполним деление многочлена на двучлен, например, столбиком:

$(x^3 + 6x^2 + 5x - 12) : (x - 1) = x^2 + 7x + 12$.

Теперь разложим на множители полученный квадратный трехчлен $x^2 + 7x + 12$. По теореме Виета, его корни $x_4, x_5$ удовлетворяют условиям $x_4 \cdot x_5 = 12$ и $x_4 + x_5 = -7$. Легко подобрать корни: $x_4 = -3$ и $x_5 = -4$.

Следовательно, $x^2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)$.

Итак, разложение знаменателя имеет вид: $Q(x) = (x - 1)(x + 3)(x + 4)$.

Корни знаменателя: $x_4 = -4$, $x_5 = -3$, $x_6 = 1$. В этих точках дробь не определена.

Теперь исходное неравенство можно переписать в виде:

$\frac{(x + 2)(x + 1)(x - 2)}{(x + 4)(x + 3)(x - 1)} > 0$

Для решения этого неравенства применим метод интервалов. Нанесем на числовую ось все найденные корни числителя и знаменателя в порядке возрастания: -4, -3, -2, -1, 1, 2. Так как неравенство строгое, все точки будут "выколотыми", то есть не будут входить в решение.

Эти точки разбивают числовую ось на семь интервалов. Определим знак левой части неравенства на каждом из них. Для этого выберем любую точку из крайнего правого интервала, например $x = 3$, и подставим в выражение:

$\frac{(3 + 2)(3 + 1)(3 - 2)}{(3 + 4)(3 + 3)(3 - 1)} = \frac{(+)(+)(+)}{(+)(+)(+)} > 0$.

Знак в крайнем правом интервале — плюс. Поскольку все корни имеют кратность 1 (нечетную), знаки в соседних интервалах будут чередоваться.

Двигаясь справа налево, расставим знаки:

$(2, +\infty)$: +

$(1, 2)$: -

$(-1, 1)$: +

$(-2, -1)$: -

$(-3, -2)$: +

$(-4, -3)$: -

$(-\infty, -4)$: +

Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля (знак "+"). Выбираем соответствующие промежутки.

Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup (-3, -2) \cup (-1, 1) \cup (2, \infty)$.