Номер 1573, страница 427 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Задачи для внеклассной работы - номер 1573, страница 427.

Условие.

1573 $\begin{cases}3^{\log_x 2} = y^{\log_5 y}, \\2^{\log_y 3} = x^{\log_7 x}.\end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

Решение:

Исходная система уравнений:$$\begin{cases}3^{\log_x 2} = y^{\log_5 y} \\2^{\log_y 3} = x^{\log_7 x}\end{cases}$$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменных. Логарифмы в системе определены, если их основания больше нуля и не равны единице, а аргументы больше нуля. Таким образом, мы имеем следующие условия:

• Для $\log_x 2$: $x > 0$ и $x \neq 1$.
• Для $\log_5 y$: $y > 0$.
• Для $\log_y 3$: $y > 0$ и $y \neq 1$.
• Для $\log_7 x$: $x > 0$.

Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x > 0, x \neq 1, y > 0, y \neq 1$.

Преобразуем левые части уравнений, используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_b c} = c^{\log_b a}$:
$3^{\log_x 2} = 2^{\log_x 3}$
$2^{\log_y 3} = 3^{\log_y 2}$

После этого преобразования система принимает вид:$$\begin{cases}2^{\log_x 3} = y^{\log_5 y} \\3^{\log_y 2} = x^{\log_7 x}\end{cases}$$

Теперь прологарифмируем оба уравнения. Первое уравнение прологарифмируем по основанию $y$, а второе — по основанию $x$.
Для первого уравнения:
$\log_y(2^{\log_x 3}) = \log_y(y^{\log_5 y})$
$(\log_x 3) \cdot (\log_y 2) = \log_5 y$

Для второго уравнения:
$\log_x(3^{\log_y 2}) = \log_x(x^{\log_7 x})$
$(\log_y 2) \cdot (\log_x 3) = \log_7 x$

Мы получили новую систему:$$\begin{cases}(\log_x 3)(\log_y 2) = \log_5 y \\(\log_x 3)(\log_y 2) = \log_7 x\end{cases}$$

Левые части обоих уравнений одинаковы, следовательно, их правые части также должны быть равны:
$\log_5 y = \log_7 x$

Введем параметр $k$, пусть $\log_5 y = \log_7 x = k$. Из этого соотношения выразим $x$ и $y$ через $k$:
$y = 5^k$
$x = 7^k$
Так как по ОДЗ $x \neq 1$ и $y \neq 1$, то $k \neq 0$.

Подставим полученные выражения для $x$ и $y$ в одно из уравнений преобразованной системы, например, в $(\log_x 3)(\log_y 2) = \log_7 x$. Мы знаем, что $\log_7 x = k$. Выразим $\log_x 3$ и $\log_y 2$ через $k$:
$\log_x 3 = \log_{7^k} 3 = \frac{1}{k}\log_7 3$
$\log_y 2 = \log_{5^k} 2 = \frac{1}{k}\log_5 2$

Подставляем эти выражения в уравнение:
$\left(\frac{1}{k}\log_7 3\right) \cdot \left(\frac{1}{k}\log_5 2\right) = k$
$\frac{1}{k^2}(\log_7 3)(\log_5 2) = k$

Умножив обе части на $k^2$ (что возможно, так как $k \neq 0$), получаем:
$(\log_7 3)(\log_5 2) = k^3$

Отсюда находим значение $k$:
$k = \sqrt[3]{(\log_5 2)(\log_7 3)}$

Теперь, зная $k$, мы можем найти $x$ и $y$:
$x = 7^k = 7^{\sqrt[3]{(\log_5 2)(\log_7 3)}}$
$y = 5^k = 5^{\sqrt[3]{(\log_5 2)(\log_7 3)}}$

Ответ: $x = 7^{\sqrt[3]{(\log_5 2)(\log_7 3)}}$, $y = 5^{\sqrt[3]{(\log_5 2)(\log_7 3)}}$.