Номер 1567, страница 427 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Задачи для внеклассной работы - номер 1567, страница 427.

Условие.

1567 Пересекает ли график функции $y = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ ось $Ox$ в точках, абсциссы которых являются целыми числами?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

Для того чтобы определить, пересекает ли график функции $y = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ ось Ox, необходимо найти точки, в которых $y = 0$. Это означает, что нам нужно найти корни уравнения:

$x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$

Вопрос заключается в том, существуют ли у этого уравнения целочисленные корни. Согласно теореме о рациональных корнях многочлена с целыми коэффициентами, если уравнение имеет целые корни, то они должны быть делителями свободного члена. Свободный член в нашем уравнении равен -6.

Найдём все целые делители числа -6: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$.

Теперь проверим, является ли какое-либо из этих чисел корнем уравнения, подставив их поочередно вместо $x$.

Проверим $x = 1$:
$1^3 - 6 \cdot 1^2 + 11 \cdot 1 - 6 = 1 - 6 + 11 - 6 = 12 - 12 = 0$.
Поскольку мы получили 0, $x = 1$ является корнем уравнения. Это целое число. Следовательно, мы уже можем утверждать, что график функции пересекает ось Ox в точке с целой абсциссой.

Для полноты картины найдем все корни. Так как $x = 1$ — корень, то многочлен $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ можно разделить на $(x - 1)$ без остатка. Выполнив деление (например, уголком или по схеме Горнера), получим:

$(x^3 - 6x^2 + 11x - 6) \div (x - 1) = x^2 - 5x + 6$

Теперь уравнение можно записать в виде:

$(x - 1)(x^2 - 5x + 6) = 0$

Оставшиеся корни находятся из квадратного уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$.
Его можно решить, разложив на множители: $(x-2)(x-3) = 0$.
Отсюда получаем еще два корня: $x = 2$ и $x = 3$.

Все три корня уравнения ($x_1 = 1$, $x_2 = 2$, $x_3 = 3$) являются целыми числами. Это означает, что график функции пересекает ось Ox в трёх точках, и все они имеют целые абсциссы.

Ответ: Да, график функции пересекает ось Ox в точках, абсциссы которых являются целыми числами. Эти точки — (1, 0), (2, 0) и (3, 0).