Номер 1566, страница 426 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Задачи для внеклассной работы - номер 1566, страница 426.

Условие.

1566 $\log_2 (4 \cos x + 3) \log_6 (4 \cos x + 3) = \log_2 (4 \cos x + 3) + \log_6 (4 \cos x + 3).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

Исходное уравнение: $ \log_{2}(4 \cos x + 3) \log_{6}(4 \cos x + 3) = \log_{2}(4 \cos x + 3) + \log_{6}(4 \cos x + 3) $.

В первую очередь определим область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения. Аргумент логарифма должен быть строго положительным:$ 4 \cos x + 3 > 0 $$ 4 \cos x > -3 $$ \cos x > -\frac{3}{4} $

Для упрощения решения введем замену переменной. Пусть $ t = 4 \cos x + 3 $. Тогда уравнение примет вид:$ \log_{2}t \cdot \log_{6}t = \log_{2}t + \log_{6}t $

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:$ \log_{2}t \cdot \log_{6}t - \log_{2}t - \log_{6}t = 0 $

Решим полученное уравнение относительно $t$. Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: Аргумент логарифмов $ t = 1 $.Если $t=1$, то $ \log_{2}1 = 0 $ и $ \log_{6}1 = 0 $. Подставим эти значения в уравнение:$ 0 \cdot 0 = 0 + 0 $$ 0 = 0 $Равенство является верным, следовательно, $ t = 1 $ — один из корней уравнения.Выполним обратную замену:$ 4 \cos x + 3 = 1 $$ 4 \cos x = -2 $$ \cos x = -\frac{1}{2} $Проверим, соответствует ли найденное значение ОДЗ ($ \cos x > -\frac{3}{4} $).Сравним $ -\frac{1}{2} $ и $ -\frac{3}{4} $. Так как $ -\frac{1}{2} = -0.5 $, а $ -\frac{3}{4} = -0.75 $, условие $ -0.5 > -0.75 $ выполняется.Следовательно, находим корни уравнения $ \cos x = -\frac{1}{2} $:$ x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $$ x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $

Случай 2: Аргумент логарифмов $ t \neq 1 $.В этом случае $ \log_{2}t \neq 0 $ и $ \log_{6}t \neq 0 $. Мы можем разделить обе части уравнения $ \log_{2}t \cdot \log_{6}t = \log_{2}t + \log_{6}t $ на произведение $ \log_{2}t \cdot \log_{6}t $:$ 1 = \frac{\log_{2}t}{\log_{2}t \cdot \log_{6}t} + \frac{\log_{6}t}{\log_{2}t \cdot \log_{6}t} $$ 1 = \frac{1}{\log_{6}t} + \frac{1}{\log_{2}t} $Применим формулу перехода к новому основанию логарифма $ \frac{1}{\log_{b}a} = \log_{a}b $:$ 1 = \log_{t}6 + \log_{t}2 $Используя свойство суммы логарифмов $ \log_{c}a + \log_{c}b = \log_{c}(ab) $:$ 1 = \log_{t}(6 \cdot 2) $$ 1 = \log_{t}12 $Из определения логарифма следует:$ t^1 = 12 $, то есть $ t = 12 $.Выполним обратную замену:$ 4 \cos x + 3 = 12 $$ 4 \cos x = 9 $$ \cos x = \frac{9}{4} $Это уравнение не имеет решений, так как область значений функции косинус $ [-1; 1] $, а $ \frac{9}{4} = 2.25 > 1 $.

Итак, единственная серия решений получается из случая $ t=1 $.
Ответ: $ \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.