Номер 1559, страница 425 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 7. Производная и интеграл - номер 1559, страница 425.

Условие.

1559 Найти первообразную функции:

1) $y = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x-1}$;

2) $y = \frac{3}{4x-1}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы найти первообразную $F(x)$ для функции $y = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x-1}$, необходимо найти ее неопределенный интеграл. Первообразная функции — это семейство функций, производная которых равна исходной функции.

Запишем интеграл:

$F(x) = \int \left(\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x-1}\right) dx$

По свойству линейности интеграла, интеграл разности равен разности интегралов:

$F(x) = \int \frac{1}{x+1} dx - \int \frac{1}{x-1} dx$

Для нахождения этих интегралов воспользуемся табличной формулой $\int \frac{1}{kx+b} dx = \frac{1}{k} \ln|kx+b| + C$.

Для первого слагаемого $\int \frac{1}{x+1} dx$ имеем $k=1$ и $b=1$. Таким образом, его первообразная равна $\ln|x+1|$.

Для второго слагаемого $\int \frac{1}{x-1} dx$ имеем $k=1$ и $b=-1$. Таким образом, его первообразная равна $\ln|x-1|$.

Объединяя результаты, получаем общую формулу для первообразной. Пусть $C$ — произвольная постоянная интегрирования.

$F(x) = \ln|x+1| - \ln|x-1| + C$

Используя свойство логарифмов $\ln a - \ln b = \ln \frac{a}{b}$, мы можем упростить это выражение:

$F(x) = \ln\left|\frac{x+1}{x-1}\right| + C$

Ответ: $F(x) = \ln\left|\frac{x+1}{x-1}\right| + C$.

2) Чтобы найти первообразную $F(x)$ для функции $y = \frac{3}{4x-1}$, найдем ее неопределенный интеграл.

$F(x) = \int \frac{3}{4x-1} dx$

Вынесем постоянный множитель 3 за знак интеграла:

$F(x) = 3 \int \frac{1}{4x-1} dx$

Снова воспользуемся табличной формулой $\int \frac{1}{kx+b} dx = \frac{1}{k} \ln|kx+b| + C$.

В данном случае $k=4$ и $b=-1$. Применяя формулу, получаем:

$\int \frac{1}{4x-1} dx = \frac{1}{4} \ln|4x-1|$

Теперь подставим этот результат обратно в выражение для $F(x)$ и добавим константу интегрирования $C$:

$F(x) = 3 \cdot \frac{1}{4} \ln|4x-1| + C = \frac{3}{4} \ln|4x-1| + C$

Ответ: $F(x) = \frac{3}{4} \ln|4x-1| + C$.