Номер 1552, страница 425 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 7. Производная и интеграл - номер 1552, страница 425.

Условие.

1552 1) $y = (2x+1)^2 \sqrt{x-1}$

2) $y = x^2 \sqrt[3]{(x+1)^2}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для нахождения производной функции $y = (2x + 1)^2 \sqrt{x - 1}$ воспользуемся правилом дифференцирования произведения функций. Пусть $u(x) = (2x+1)^2$ и $v(x) = \sqrt{x-1}$. Тогда $y' = u'v + uv'$.

Сначала найдем производные функций $u(x)$ и $v(x)$:

Для $u(x) = (2x+1)^2$, используя правило производной сложной функции, получаем:

$u'(x) = 2(2x+1)^{2-1} \cdot (2x+1)' = 2(2x+1) \cdot 2 = 4(2x+1)$.

Для $v(x) = \sqrt{x-1} = (x-1)^{1/2}$, производная равна:

$v'(x) = \frac{1}{2}(x-1)^{1/2 - 1} \cdot (x-1)' = \frac{1}{2}(x-1)^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x-1}}$.

Теперь подставим найденные производные в формулу для производной произведения:

$y' = 4(2x+1)\sqrt{x-1} + (2x+1)^2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x-1}}$.

Чтобы упростить выражение, приведем слагаемые к общему знаменателю $2\sqrt{x-1}$:

$y' = \frac{4(2x+1)\sqrt{x-1} \cdot 2\sqrt{x-1}}{2\sqrt{x-1}} + \frac{(2x+1)^2}{2\sqrt{x-1}} = \frac{8(2x+1)(x-1) + (2x+1)^2}{2\sqrt{x-1}}$.

Вынесем общий множитель $(2x+1)$ в числителе за скобки:

$y' = \frac{(2x+1)[8(x-1) + (2x+1)]}{2\sqrt{x-1}}$.

Упростим выражение в квадратных скобках:

$8(x-1) + (2x+1) = 8x - 8 + 2x + 1 = 10x - 7$.

Таким образом, окончательное выражение для производной:

$y' = \frac{(2x+1)(10x - 7)}{2\sqrt{x-1}}$.

Ответ: $y' = \frac{(2x+1)(10x-7)}{2\sqrt{x-1}}$.

2) Для нахождения производной функции $y = x^2 \sqrt[3]{(x+1)^2}$ представим ее в виде $y = x^2 (x+1)^{2/3}$.

Применим правило дифференцирования произведения, где $u(x) = x^2$ и $v(x) = (x+1)^{2/3}$. Формула производной произведения: $y' = u'v + uv'$.

Найдем производные $u(x)$ и $v(x)$:

$u'(x) = (x^2)' = 2x$.

Для $v(x) = (x+1)^{2/3}$, используя правило производной сложной функции, получаем:

$v'(x) = \frac{2}{3}(x+1)^{2/3 - 1} \cdot (x+1)' = \frac{2}{3}(x+1)^{-1/3} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x+1}}$.

Подставим найденные производные в формулу:

$y' = 2x \cdot (x+1)^{2/3} + x^2 \cdot \frac{2}{3\sqrt[3]{x+1}}$.

Приведем выражение к общему знаменателю $3\sqrt[3]{x+1}$:

$y' = \frac{2x(x+1)^{2/3} \cdot 3(x+1)^{1/3}}{3\sqrt[3]{x+1}} + \frac{2x^2}{3\sqrt[3]{x+1}} = \frac{6x(x+1)^{2/3 + 1/3} + 2x^2}{3\sqrt[3]{x+1}}$.

Упростим числитель:

$y' = \frac{6x(x+1) + 2x^2}{3\sqrt[3]{x+1}} = \frac{6x^2 + 6x + 2x^2}{3\sqrt[3]{x+1}} = \frac{8x^2 + 6x}{3\sqrt[3]{x+1}}$.

Вынесем общий множитель $2x$ в числителе:

$y' = \frac{2x(4x+3)}{3\sqrt[3]{x+1}}$.

Ответ: $y' = \frac{2x(4x+3)}{3\sqrt[3]{x+1}}$.