Номер 1549, страница 425 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 7. Производная и интеграл - номер 1549, страница 425.

Условие.

1549 Показать, что $f'(1) = f'(0)$, если $f(x) = (2x - 3)(3x^2 + 1)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

Для того чтобы доказать равенство $f'(1) = f'(0)$, необходимо найти производную функции $f(x)$, а затем вычислить её значения в точках $x=1$ и $x=0$.

Исходная функция: $f(x) = (2x - 3)(3x^2 + 1)$.

1. Нахождение производной $f'(x)$

Для нахождения производной можно использовать правило дифференцирования произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$ или предварительно раскрыть скобки.

Способ А: Раскрытие скобок

Сначала преобразуем функцию, перемножив многочлены:

$f(x) = 2x \cdot 3x^2 + 2x \cdot 1 - 3 \cdot 3x^2 - 3 \cdot 1 = 6x^3 + 2x - 9x^2 - 3$

Приведем многочлен к стандартному виду:

$f(x) = 6x^3 - 9x^2 + 2x - 3$

Теперь найдем производную этой функции, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$f'(x) = (6x^3)' - (9x^2)' + (2x)' - (3)'$

$f'(x) = 6 \cdot 3x^2 - 9 \cdot 2x + 2 \cdot 1 - 0$

$f'(x) = 18x^2 - 18x + 2$

Способ Б: Правило производной произведения

Пусть $u(x) = 2x - 3$ и $v(x) = 3x^2 + 1$.

Найдём их производные: $u'(x) = 2$ и $v'(x) = 6x$.

Подставим в формулу $f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$:

$f'(x) = 2 \cdot (3x^2 + 1) + (2x - 3) \cdot 6x$

$f'(x) = 6x^2 + 2 + 12x^2 - 18x$

$f'(x) = 18x^2 - 18x + 2$

Оба способа дали одинаковый результат.

2. Вычисление значений производной

Теперь, имея выражение для производной $f'(x) = 18x^2 - 18x + 2$, вычислим её значения в заданных точках.

При $x=1$:

$f'(1) = 18(1)^2 - 18(1) + 2 = 18 - 18 + 2 = 2$

При $x=0$:

$f'(0) = 18(0)^2 - 18(0) + 2 = 0 - 0 + 2 = 2$

3. Сравнение результатов

Мы получили, что $f'(1) = 2$ и $f'(0) = 2$.

Следовательно, $f'(1) = f'(0)$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $f'(1) = f'(0)$ доказано, так как оба значения равны 2.