Номер 1544, страница 424 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 7. Производная и интеграл - номер 1544, страница 424.

Условие.

Найти значения $x$, при которых значение производной функции $f(x)$ равно $0$ (1544—1545).

1544 1) $f(x) = \sin 2x - x$; 2) $f(x) = \cos 2x + 2x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

1) Дана функция $f(x) = \sin 2x - x$.

Задача состоит в том, чтобы найти значения $x$, при которых производная функции $f'(x)$ равна нулю.

Шаг 1: Найдём производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования разности и правило дифференцирования сложной функции.

$f'(x) = (\sin 2x - x)' = (\sin 2x)' - (x)'$

Производная от $x$ равна 1:

$(x)' = 1$

Производная от $\sin 2x$ находится по правилу для сложной функции: $(\sin u)' = \cos u \cdot u'$. В нашем случае $u = 2x$, поэтому $u' = 2$.

$(\sin 2x)' = \cos(2x) \cdot (2x)' = 2\cos 2x$

Таким образом, производная функции $f(x)$ равна:

$f'(x) = 2\cos 2x - 1$

Шаг 2: Приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение.

$f'(x) = 0$

$2\cos 2x - 1 = 0$

$2\cos 2x = 1$

$\cos 2x = \frac{1}{2}$

Шаг 3: Найдём общее решение тригонометрического уравнения.

$2x = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$, получаем:

$2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Шаг 4: Выразим $x$.

Разделим обе части уравнения на 2:

$x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) Дана функция $f(x) = \cos 2x + 2x$.

Задача состоит в том, чтобы найти значения $x$, при которых производная функции $f'(x)$ равна нулю.

Шаг 1: Найдём производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования суммы и правило дифференцирования сложной функции.

$f'(x) = (\cos 2x + 2x)' = (\cos 2x)' + (2x)'$

Производная от $2x$ равна 2:

$(2x)' = 2$

Производная от $\cos 2x$ находится по правилу для сложной функции: $(\cos u)' = -\sin u \cdot u'$. В нашем случае $u = 2x$, поэтому $u' = 2$.

$(\cos 2x)' = -\sin(2x) \cdot (2x)' = -2\sin 2x$

Таким образом, производная функции $f(x)$ равна:

$f'(x) = -2\sin 2x + 2$

Шаг 2: Приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение.

$f'(x) = 0$

$-2\sin 2x + 2 = 0$

$2 = 2\sin 2x$

$\sin 2x = 1$

Шаг 3: Найдём общее решение тригонометрического уравнения. Это частный случай.

$2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Шаг 4: Выразим $x$.

Разделим обе части уравнения на 2:

$x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.