Номер 1537, страница 424 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 6. Функции и графики - номер 1537, страница 424.

Условие.

1537 1) $y = \frac{1}{3} x^3 - x^2 - 3x + 9;$

2) $y = -x^4 + 6x^2 - 9.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Дана функция $y = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x + 9$.

Для исследования функции и нахождения ее промежутков возрастания/убывания и экстремумов, выполним следующие шаги:

1. Находим область определения функции.

Функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную функции.

$y' = (\frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x + 9)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^{3-1} - 2x^{2-1} - 3 = x^2 - 2x - 3$.

3. Находим критические точки.

Приравниваем производную к нулю и решаем уравнение $y' = 0$:

$x^2 - 2x - 3 = 0$.

Это квадратное уравнение. Решим его через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$.

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}$.

$x_1 = \frac{2 - 4}{2} = -1$.

$x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3$.

Критические точки: $x = -1$ и $x = 3$.

4. Определяем промежутки возрастания и убывания.

Критические точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty; -1)$, $(-1; 3)$ и $(3; +\infty)$. Определим знак производной $y' = x^2 - 2x - 3$ на каждом из этих интервалов.

• При $x \in (-\infty; -1)$, например $x = -2$: $y'(-2) = (-2)^2 - 2(-2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5 > 0$. Следовательно, функция возрастает на этом промежутке.
• При $x \in (-1; 3)$, например $x = 0$: $y'(0) = 0^2 - 2(0) - 3 = -3 < 0$. Следовательно, функция убывает на этом промежутке.
• При $x \in (3; +\infty)$, например $x = 4$: $y'(4) = 4^2 - 2(4) - 3 = 16 - 8 - 3 = 5 > 0$. Следовательно, функция возрастает на этом промежутке.

5. Находим точки экстремума.

В точке $x = -1$ производная меняет знак с плюса на минус, значит, это точка локального максимума.

Значение функции в этой точке: $y_{max} = y(-1) = \frac{1}{3}(-1)^3 - (-1)^2 - 3(-1) + 9 = -\frac{1}{3} - 1 + 3 + 9 = 11 - \frac{1}{3} = \frac{32}{3}$.

В точке $x = 3$ производная меняет знак с минуса на плюс, значит, это точка локального минимума.

Значение функции в этой точке: $y_{min} = y(3) = \frac{1}{3}(3)^3 - (3)^2 - 3(3) + 9 = 9 - 9 - 9 + 9 = 0$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[3; +\infty)$, убывает на промежутке $[-1; 3]$. Точка максимума: $x_{max} = -1$, $y_{max} = \frac{32}{3}$. Точка минимума: $x_{min} = 3$, $y_{min} = 0$.

2)

Дана функция $y = -x^4 + 6x^2 - 9$.

Проведем исследование функции аналогично предыдущему пункту.

1. Область определения функции.

Функция является многочленом, область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную функции.

$y' = (-x^4 + 6x^2 - 9)' = -4x^3 + 12x$.

3. Находим критические точки.

Приравниваем производную к нулю: $y' = 0$.

$-4x^3 + 12x = 0$.

$-4x(x^2 - 3) = 0$.

Отсюда находим корни:

$x_1 = 0$.

$x^2 - 3 = 0 \implies x^2 = 3 \implies x_{2,3} = \pm\sqrt{3}$.

Критические точки: $x = -\sqrt{3}$, $x = 0$, $x = \sqrt{3}$.

4. Определяем промежутки возрастания и убывания.

Точки $x = -\sqrt{3}$, $x = 0$, $x = \sqrt{3}$ делят числовую ось на четыре интервала. Определим знак производной $y' = -4x(x^2 - 3)$ на каждом из них.

• При $x \in (-\infty; -\sqrt{3})$, например $x = -2$: $y'(-2) = -4(-2)((-2)^2-3) = 8(4-3) = 8 > 0$. Функция возрастает.
• При $x \in (-\sqrt{3}; 0)$, например $x = -1$: $y'(-1) = -4(-1)((-1)^2-3) = 4(1-3) = -8 < 0$. Функция убывает.
• При $x \in (0; \sqrt{3})$, например $x = 1$: $y'(1) = -4(1)(1^2-3) = -4(-2) = 8 > 0$. Функция возрастает.
• При $x \in (\sqrt{3}; +\infty)$, например $x = 2$: $y'(2) = -4(2)(2^2-3) = -8(1) = -8 < 0$. Функция убывает.

5. Находим точки экстремума.

В точке $x = -\sqrt{3}$ производная меняет знак с `+` на `-`, следовательно, это точка максимума.

$y_{max} = y(-\sqrt{3}) = -(-\sqrt{3})^4 + 6(-\sqrt{3})^2 - 9 = -9 + 6(3) - 9 = -9 + 18 - 9 = 0$.

В точке $x = 0$ производная меняет знак с `-` на `+`, следовательно, это точка минимума.

$y_{min} = y(0) = -(0)^4 + 6(0)^2 - 9 = -9$.

В точке $x = \sqrt{3}$ производная меняет знак с `+` на `-`, следовательно, это точка максимума.

$y_{max} = y(\sqrt{3}) = -(\sqrt{3})^4 + 6(\sqrt{3})^2 - 9 = -9 + 6(3) - 9 = 0$.

Заметим, что исходную функцию можно записать как $y = -(x^4 - 6x^2 + 9) = -(x^2-3)^2$. Отсюда видно, что $y \le 0$ для всех $x$, и максимумы достигаются при $x^2 = 3$, что совпадает с нашим решением.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -\sqrt{3}]$ и $[0; \sqrt{3}]$, убывает на промежутках $[-\sqrt{3}; 0]$ и $[\sqrt{3}; +\infty)$. Точки максимума: $x_{max} = \pm\sqrt{3}$, $y_{max} = 0$. Точка минимума: $x_{min} = 0$, $y_{min} = -9$.