Номер 1533, страница 424 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 6. Функции и графики - номер 1533, страница 424.

Условие.

1533 Исследовать с помощью производной функцию $y = x^3 - 3x + 2$ и построить её график. Найти точки, в которых касательные к графику параллельны оси $Ox$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

Исследовать с помощью производной функцию $y = x^3 - 3x + 2$

1. Область определения. Функция является многочленом, следовательно, ее область определения — все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.
- С осью Oy (при $x=0$): $y(0) = 0^3 - 3(0) + 2 = 2$. Точка пересечения: $(0; 2)$.
- С осью Ox (при $y=0$): $x^3 - 3x + 2 = 0$. Подбором находим корень $x=1$. Разделив многочлен на $(x-1)$, получаем уравнение $x^2 + x - 2 = 0$, корни которого $x=1$ и $x=-2$. Таким образом, точки пересечения с осью Ox: $(-2; 0)$ и $(1; 0)$.

3. Интервалы монотонности и экстремумы. Найдем первую производную: $y' = (x^3 - 3x + 2)' = 3x^2 - 3$.
Приравняем производную к нулю для поиска критических точек: $3x^2 - 3 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$.
- На интервале $(-\infty; -1)$ производная $y' > 0$, следовательно, функция возрастает.
- На интервале $(-1; 1)$ производная $y' < 0$, следовательно, функция убывает.
- На интервале $(1; +\infty)$ производная $y' > 0$, следовательно, функция возрастает.
Точка $x=-1$ — точка максимума, так как производная меняет знак с «+» на «-». $y_{max} = y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 2 = 4$. Точка максимума: $(-1; 4)$.
Точка $x=1$ — точка минимума, так как производная меняет знак с «-» на «+». $y_{min} = y(1) = 1^3 - 3(1) + 2 = 0$. Точка минимума: $(1; 0)$.

4. Выпуклость и точки перегиба. Найдем вторую производную: $y'' = (3x^2 - 3)' = 6x$.
Приравняем вторую производную к нулю: $6x = 0 \implies x=0$.
- На интервале $(-\infty; 0)$ вторая производная $y'' < 0$, следовательно, график функции выпуклый вверх.
- На интервале $(0; +\infty)$ вторая производная $y'' > 0$, следовательно, график функции выпуклый вниз.
В точке $x=0$ вторая производная меняет знак, значит, это точка перегиба. $y(0) = 2$. Точка перегиба: $(0; 2)$.

Ответ: Функция возрастает на интервалах $(-\infty; -1)$ и $(1; +\infty)$, убывает на интервале $(-1; 1)$. Точка максимума $(-1; 4)$, точка минимума $(1; 0)$. График функции выпуклый вверх на $(-\infty; 0)$ и выпуклый вниз на $(0; +\infty)$. Точка перегиба $(0; 2)$.

...и построить её график

Для построения графика используем ключевые точки, найденные в ходе исследования:

• Точки пересечения с осями: $(-2; 0)$, $(1; 0)$, $(0; 2)$.
• Точка максимума: $(-1; 4)$.
• Точка минимума: $(1; 0)$.
• Точка перегиба: $(0; 2)$.

Наносим эти точки на координатную плоскость и соединяем их плавной линией, учитывая интервалы монотонности и направления выпуклости. График представляет собой кубическую параболу.

Ответ: График функции построен на основе анализа и ключевых точек (точки экстремумов, перегиба, пересечения с осями).

Найти точки, в которых касательные к графику параллельны оси Ox

Касательная к графику параллельна оси Ox в тех точках, где ее угловой коэффициент равен нулю. Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания, поэтому необходимо решить уравнение $y'(x) = 0$.
$y' = 3x^2 - 3 = 0$
$x^2 = 1 \implies x_1 = -1, x_2 = 1$.
Это абсциссы искомых точек. Найдем их ординаты, подставив значения $x$ в исходную функцию:
- При $x = -1$: $y = (-1)^3 - 3(-1) + 2 = 4$.
- При $x = 1$: $y = 1^3 - 3(1) + 2 = 0$.
Следовательно, искомые точки — это $(-1; 4)$ и $(1; 0)$.

Ответ: $(-1; 4)$ и $(1; 0)$.