Номер 1527, страница 423 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

1527 Из всех цилиндров, у которых периметр осевого сечения равен $p$, выбран цилиндр наибольшего объёма. Найти этот объём.

Обозначим радиус основания цилиндра как $r$, а его высоту как $h$. Осевое сечение цилиндра является прямоугольником, стороны которого равны диаметру основания $2r$ и высоте $h$.

Периметр этого прямоугольника, согласно условию задачи, равен $p$. Запишем это в виде формулы: $2(2r + h) = p$

Из данного уравнения выразим высоту $h$ через радиус $r$: $2r + h = \frac{p}{2}$ $h = \frac{p}{2} - 2r$

Объём цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi r^2 h$. Чтобы найти цилиндр наибольшего объёма, нам нужно максимизировать эту функцию. Подставим в неё выражение для $h$, чтобы получить функцию объёма, зависящую только от одной переменной $r$: $V(r) = \pi r^2 \left(\frac{p}{2} - 2r\right) = \frac{\pi p}{2} r^2 - 2\pi r^3$

Для нахождения максимума функции $V(r)$, найдем её производную по переменной $r$: $V'(r) = \frac{d}{dr}\left(\frac{\pi p}{2} r^2 - 2\pi r^3\right) = \frac{\pi p}{2} \cdot 2r - 2\pi \cdot 3r^2 = \pi p r - 6\pi r^2$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $\pi p r - 6\pi r^2 = 0$ $\pi r(p - 6r) = 0$

Это уравнение даёт два возможных значения для $r$: $r = 0$ или $r = \frac{p}{6}$. Значение $r=0$ соответствует цилиндру с нулевым объёмом, поэтому оно не является точкой максимума. Рассмотрим $r = \frac{p}{6}$.

Чтобы проверить, является ли эта точка точкой максимума, найдём вторую производную функции объёма: $V''(r) = \frac{d}{dr}(\pi p r - 6\pi r^2) = \pi p - 12\pi r$

Подставим значение $r = \frac{p}{6}$ в выражение для второй производной: $V''\left(\frac{p}{6}\right) = \pi p - 12\pi\left(\frac{p}{6}\right) = \pi p - 2\pi p = -\pi p$

Поскольку периметр $p$ — положительная величина, то $V''\left(\frac{p}{6}\right) < 0$. Это означает, что при $r = \frac{p}{6}$ объём цилиндра достигает своего максимального значения.

Теперь найдем соответствующую высоту $h$: $h = \frac{p}{2} - 2r = \frac{p}{2} - 2\left(\frac{p}{6}\right) = \frac{p}{2} - \frac{p}{3} = \frac{3p - 2p}{6} = \frac{p}{6}$

Наконец, вычислим искомый наибольший объём, подставив найденные значения $r$ и $h$ в формулу объёма: $V_{max} = \pi r^2 h = \pi \left(\frac{p}{6}\right)^2 \left(\frac{p}{6}\right) = \pi \cdot \frac{p^2}{36} \cdot \frac{p}{6} = \frac{\pi p^3}{216}$

Ответ: $\frac{\pi p^3}{216}$